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AddInputAlias["bk"->(NotationTemplateTag[(OverVector[k])])]

Eletromagnetismo e Ótica (MEC/LEGM)

Problemas

Determine a velocidade (OverVector[v]) e a aceleração (OverVector[a]) em cada instante t para as seguintes trajectórias paramétricas num referencial cartesiano (Subscript[(OverVector[e]), x]),(Subscript[(OverVector[e]), y]),(Subscript[(OverVector[e]), z]):

(OverVector[r])(t)=t (Subscript[(OverVector[e]), x])+4(Subscript[(OverVector[e]), z])≡{t,0,4}

(OverVector[r])(t)=(t^2)(Subscript[(OverVector[e]), y])+3t(Subscript[(OverVector[e]), z])≡{0,(t^2),3t}

(OverVector[r])(x)=x(Subscript[(OverVector[e]), x])+(x^2)(Subscript[(OverVector[e]), y])+(3+(x^(-1)))(Subscript[(OverVector[e]), z])≡{x,(x^2),3+(x^(-1))}  onde x=t ou x=(e^t). Explique as diferenças nos dois casos.

Uma partícula está submetida a uma força (OverVector[F])((OverVector[r]))=2((y^2)-x)(Subscript[(OverVector[e]), x])+3x y (Subscript[(OverVector[e]), y]) (N). Determine o trabalho realizado pela força para deslocar a partícula da origem para um ponto P={2,4} ao longo dos seguintes caminhos alternativos

Primeiro ao longo de (Subscript[(OverVector[e]), x]) e depois paralelo a (Subscript[(OverVector[e]), y]).

Ao longo da recta da origem ao ponto P.

Ao longo da parábola y=(x^2).

O operador gradiente  (grad ou∇) em coordenadas cartesianas é ∇=(Subscript[(OverVector[e]), x])(∂/(∂x))+(Subscript[(OverVector[e]), y])(∂/(∂y))+(Subscript[(OverVector[e]), z])(∂/(∂z)). Mostre que ∇((1/r))=-(1/(r^2))(Subscript[(OverVector[e]), r]), onde r=(Sqrt[(x^2)+(y^2)+(z^2)]) e o versor (Subscript[(OverVector[e]), r])=((OverVector[r])/r).

Se (OverVector[A]) for um vector constante, mostre que ∇((OverVector[A])·(OverVector[r]))=(OverVector[A]).

Determine a expressão para o operador gradiente ∇ em coordenadas cilíndricas {r, θ,z}, sabendo que um deslocamento infinitesimal se escreve então d(OverVector[r])=dr (Subscript[(OverVector[e]), r])+rdθ  (Subscript[(OverVector[e]), θ])+dz (Subscript[(OverVector[e]), z]).  (Sugestão: Use  df((OverVector[r]))=∇f·d(OverVector[r]), válido para qualquer função escalar f((OverVector[r])).) 
Calcule o gradiente da função f((OverVector[r]))=(z/r) em coordenadas cilíndricas.

Calcule o valor do integral de caminho  (∫_(P,Q))(OverVector[F])·d(OverVector[r]), onde  (OverVector[F])=-((OverVector[r])/(r^3)) ao longo de um caminho que começa em  P={0,∞,0}  e acaba em Q={a,0,0}. Explique porque é que qualquer caminho entre estes dois pontos dá o mesmo resultado. (Sugestão: mostre que (OverVector[F])·d(OverVector[r])=dφ para φ=(1/r).)