Eletromagnetismo e Ótica (MEC/LEGM)

Problemas

Escreva a expressão integral para o cálculo do fluxo Φ do campo eléctrico (OverVector[E])  duma carga Q através da face de um cubo com arestas de comprimento 2a que passa por x=a e está centrado na carga. Use de seguida argumentos de simetria e a Lei de Gauss para calcular o valor do integral em questão.

G3[{{Opacity[.5], Cuboid[(-(Subscript[(OverVector[e]), x])-(Subscript[(OverVector[e]), y])-(Subscript[(OverVector[e]), z]))2,((Subscript[(OverVector[e]), x])+(Subscript[(OverVector[e]), y])+(Subscript[(OverVector[e]), z]))2],fr[0]},PointSize[.02], Point[(OverVector[O])],Lgd[{Style[Q,14],(OverVector[O]),{1.5,1}}],aa3[2(Subscript[(OverVector[e]), x]),1.05((Subscript[(OverVector[e]), y])+(Subscript[(OverVector[e]), z]))2,2a,0,{-1,-1}],aa3[-2(Subscript[(OverVector[e]), x]),1.05((Subscript[(OverVector[e]), y])+(Subscript[(OverVector[e]), z]))2,"",0,{-1,-1}],aa3[2(Subscript[(OverVector[e]), x]),(OverVector[O]),x==a,1,-{-1,-1}],aa3[2(Subscript[(OverVector[e]), y]),1.05(-(Subscript[(OverVector[e]), x])+(Subscript[(OverVector[e]), z]))2,2a,0,{-1,-1}],aa3[-2(Subscript[(OverVector[e]), y]),1.05(-(Subscript[(OverVector[e]), x])+(Subscript[(OverVector[e]), z]))2,"",0,{-1,-1}],aa3[2(Subscript[(OverVector[e]), z]),1.05(-(Subscript[(OverVector[e]), y])-(Subscript[(OverVector[e]), x]))2,2a,0,-{-1,-1}],aa3[-2(Subscript[(OverVector[e]), z]),1.05(-(Subscript[(OverVector[e]), y])-(Subscript[(OverVector[e]), x]))2,"",0,-{-1,-1}],AnnotatedArrow3D[2((Subscript[(OverVector[e]), x])+.5(Subscript[(OverVector[e]), y])+.3(Subscript[(OverVector[e]), z])),(OverVector[O]),"(Subscript[(OverVector[r]), s])",.75,{-1,-1.},2],
{DX[.005],LI[{2(Subscript[(OverVector[e]), x]),2((Subscript[(OverVector[e]), x])+.5(Subscript[(OverVector[e]), y])),2((Subscript[(OverVector[e]), x])+.5(Subscript[(OverVector[e]), y])+.3(Subscript[(OverVector[e]), z]))}],LI[{2(+.5(Subscript[(OverVector[e]), y])),2((Subscript[(OverVector[e]), x])+.5(Subscript[(OverVector[e]), y]))}],LI[{2((Subscript[(OverVector[e]), x])+.5(Subscript[(OverVector[e]), y])+.3(Subscript[(OverVector[e]), z]))+.4(Subscript[(OverVector[e]), y]),2((Subscript[(OverVector[e]), x])+.5(Subscript[(OverVector[e]), y])+.3(Subscript[(OverVector[e]), z]))+.4(Subscript[(OverVector[e]), z])+.4(Subscript[(OverVector[e]), y]),2((Subscript[(OverVector[e]), x])+.5(Subscript[(OverVector[e]), y])+.3(Subscript[(OverVector[e]), z]))+.4(Subscript[(OverVector[e]), z])}],Lgd/@{{Style["y",Italic],2((Subscript[(OverVector[e]), x])+.25(Subscript[(OverVector[e]), y])),{0,1}},{Style["z",Italic],2((Subscript[(OverVector[e]), x])+.5(Subscript[(OverVector[e]), y])+((.3)/2)(Subscript[(OverVector[e]), z])),{2,0}}}},
aa3[.4(Subscript[(OverVector[e]), y]),2((Subscript[(OverVector[e]), x])+.5(Subscript[(OverVector[e]), y])+.3(Subscript[(OverVector[e]), z])),"\[DifferentialD](Subscript[(OverVector[r]), y])",1.8,{-.5,0}],aa3[.4(Subscript[(OverVector[e]), z]),2((Subscript[(OverVector[e]), x])+.5(Subscript[(OverVector[e]), y])+.3(Subscript[(OverVector[e]), z])),"\[DifferentialD](Subscript[(OverVector[r]), z])",1.5,{1,0}],aa3[.4(Subscript[(OverVector[e]), x]),2((Subscript[(OverVector[e]), x])+.5(Subscript[(OverVector[e]), y])+.3(Subscript[(OverVector[e]), z])),"(OverVector[n])\[DifferentialD]S",1.5,{0,1}],
TH[2],Red,AnnotatedArrow3D[((Subscript[(OverVector[e]), x])+.5(Subscript[(OverVector[e]), y])+.3(Subscript[(OverVector[e]), z])),2((Subscript[(OverVector[e]), x])+.5(Subscript[(OverVector[e]), y])+.3(Subscript[(OverVector[e]), z])),"(OverVector[E])((Subscript[(OverVector[r]), s]))",.9,-{1,-2},3]/.NL}/.aa3[x_,y_,z_,s_,o_]:>AnnotatedArrow3D[x,y,z,s,o,1.5]//Release,Boxed->False,PlotRange->{#,#,#}&[5.5{-2,2}],ViewAngle->0.10119506467511924`,ViewCenter->{{0.5,0.5,0.5},{0.4373848987108655,0.512891344383057}},ViewPoint->{2.0217972625697698`,-2.356690985168648,1.3447466041935985`},ViewVertical->{0.13601934496881146`,-0.17560336675990668`,0.975019074365646}]

Uma barra fina de comprimento 2L está uniformemente carregada com uma carga positiva de Q Coulombs.

Determine directamente o potencial elétrico φ(x) a uma distância x>L do centro da barra e na direção do seu eixo  (assuma φ(∞)=0).

Qual seria a variação da energia potencial de um eletrão que se deslocasse de x=4L para x=3L ?

Qual seria a sua velocidade final se começasse do repouso?

É possivel deduzir o campo elétrico (OverVector[E])(x) na região considerada a partir da expressão de φ(x) ? Justifique a resposta!

Um tubo cilíndrico ôco  muito comprido é constituído por um material não-condutor,  tem um raio interior (Subscript[R, 1]) e espessura constante a, e está uniformemente carregado com uma densidade de carga ρ ((C/(m^3))). Use a Lei de Gauss para determinar:

O campo elétrico (Subscript[(OverVector[E]), o])(r) dentro da cavidade do tubo, ou seja, para distâncias ao eixo  r<(Subscript[R, 1]).

O campo elétrico (Subscript[(OverVector[E]), 1])(r) entre as faces interior e exterior do tubo, assumindo que a permitividade elétrica aí é também (Subscript[ε, o]).

O campo elétrico (Subscript[(OverVector[E]), 2])(r) na vizinhança exterior do tubo não muito perto das extremidades.

Determine o potencial elétrico φ(r) nas regiões mencionadas acima assumindo que φ=0 num ponto do eixo do tubo.

Dois planos verticais paralelos, práticamente infinitos, estão separados por uma distância 2d na direção (Subscript[(OverVector[e]), x]). Um dos planos está uniformemente carregado com uma densidade de carga (Subscript[σ, 1]) ((C/(m^2))), enquanto o outro possui uma densidade de carga (Subscript[σ, 2])=2(Subscript[σ, 1]).

Use a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico (OverVector[E]) em todas as regiões do espaço.

Determine a descontinuidade do campo elétrico (OverVector[E]) ao atravessar cada plano.

Determine a força (magnitude, direção e sentido) por unidade de área sentida por cada plano.

Determine o potencial elétrico φ em todas as regiões do espaço, assumindo que φ=0 num ponto a igual distância dos planos.

Qual é a energia cinética que um electrão ganharia se fosse largado do repouso de uma das armaduras e acelerado pelo campo até atingir a outra? Há diferença na posição inicial do eletrão se os planos estiverem positiva ou negativamente carregados?

Duas esferas condutoras, uma com um raio (Subscript[R, 1])=4cm e a outra com um raio (Subscript[R, 2])=6 cm, estão separadas por uma distância d≫ (Subscript[R, 1,])(Subscript[R, 2]). Inicialmente a esfera mais pequena continha uma carga  Q=20×(10^(-6 ))C, enquanto a outra estava descarregada. A certa altura estas esferas são ligadas por um longo fio condutor muito fino. Desprezando os efeitos de influência elétrica entre as esferas (por se encontrarem tão longe) e depois de cessar todo o movimento de  cargas:

Qual vai ser a diferença de potencial entre as esferas?

Qual é a carga final em cada esfera? Como se encontra distribuída?

Qual é o potencial eléctrico φ de cada uma das esferas, assumindo φ=0 no infinito?

Como é o campo elétrico (OverVector[E]) à superfície de cada uma das esferas? Que esfera possui o maior campo?

(Subscript[(OverVector[r]), 1])=-2.6(Subscript[(OverVector[e]), x]);               (Subscript[(OverVector[r]), 2])=2.4(Subscript[(OverVector[e]), x]);       (Subscript[R, 1])=.2;            (Subscript[R, 2])=.3;
spp={(Subscript[(OverVector[p]), 1]),(Subscript[(OverVector[p]), 2]),(Subscript[(OverVector[p]), 3]),(Subscript[(OverVector[p]), 4])}/.(Subscript[(OverVector[p]), 1])->((Subscript[(OverVector[r]), 1])+(Subscript[R, 1])ud@((Subscript[(OverVector[e]), z])+(Subscript[(OverVector[e]), x])))/.(Subscript[(OverVector[p]), 4])->((Subscript[(OverVector[r]), 2])+ (Subscript[R, 2])ud@(-(Subscript[(OverVector[e]), x])-.5(Subscript[(OverVector[e]), z])))/.(Subscript[(OverVector[p]), 2])->-1.4(Subscript[(OverVector[e]), x])+.5(Subscript[(OverVector[e]), z])/.(Subscript[(OverVector[p]), 3])->-.5(Subscript[(OverVector[e]), z]);
spline=LI@Table[SplineFunction[Cubic,{0,3},spp,NumericalMath`SplineFit`Private`splineinternal[spp,Cubic]][i]//Sp,{i,0,3,.1}];
G3[{{Opacity[.7],Sphere[(Subscript[(OverVector[r]), 1]),(Subscript[R, 1])],Sphere[(Subscript[(OverVector[r]), 2]),(Subscript[R, 2])]},spline,{LI[{(Subscript[(OverVector[r]), 1]),(Subscript[(OverVector[r]), 1])+(Subscript[R, 1])ud[#]}],Lgd[{"(Subscript[R, 1])",(Subscript[(OverVector[r]), 1])+1.5(Subscript[R, 1])ud[#]},{"(Subscript[q, 1])",(Subscript[(OverVector[r]), 1])-1.5(Subscript[R, 1])ud[#]}],LI[{(Subscript[(OverVector[r]), 2]),(Subscript[(OverVector[r]), 2])+(Subscript[R, 2])ud[#]}],Lgd[{"(Subscript[R, 2])",(Subscript[(OverVector[r]), 2])+1.5(Subscript[R, 2])ud[#]},{"(Subscript[q, 2])",(Subscript[(OverVector[r]), 2])-1.5(Subscript[R, 2])ud[#{-1,-1,1}]}]}&[(Subscript[(OverVector[e]), x])-(Subscript[(OverVector[e]), z])],{DX[.02],LI[{(Subscript[(OverVector[r]), 1]),(Subscript[(OverVector[r]), 2])}],Lgd[{"d",(OverVector[O]),{0,-1}}]}},ImageSize->{600.,185.},ViewPoint->{0,-1,0},PlotRange->{{-3,3},{-1,1},{-1,1}},BoxRatios->{3,1,1},Boxed->False,ViewAngle->.3]