Eletromagnetismo e Ótica (MEC/LEGM)

Problemas

Considere a região de "gate" de um transistor num microprocessador recente. É constituída por duas camadas metálicas de dimensões de 0.1 μm por 0.5 μm, separadas por uma camada semi-condutora de óxido de silício (Subscript[SiO, 2]) com uma espessura de 1.5 nm e uma constante dielétrica (Subscript[ϵ, r])=3.5. A diferença de potencial aplicada é da ordem de 1.5 V. Para este problema considere que se trata de um condensador de placas paralelas de área  0.1 μm por 0.5 μm.

Qual é a capacidade do condensador?

Quantos electrões se encontram na armadura quando é aplicada a diferença de potencial de 1.5 V?

Respostas:

C= 1.031×(10^(-3))    (p F)

(Subscript[N, e])≈9652  electrões

Um condensador plano com armaduras de área A está ligado a uma bateria que fornece uma tensão constante (Subscript[V, o]). Descreva o que acontece à diferença de potencial V entre as armaduras,
ao campo eléctrico (OverVector[E]) , à capacidade C e às cargas Q nas armaduras quando:

se afastam as armaduras para o dobro da distância inicial d, mantendo o condensador ligado à bateria.

se afastam as armaduras como na alínea anterior, mas desligando-as da bateria primeiro.

Respostas:

V=(Subscript[V, o]), (OverVector[E])=(1/2)(Subscript[(OverVector[E]), o]), C=(1/2)(Subscript[C, o]) e Q=(1/2)(Subscript[Q, o])

V=2(Subscript[V, o]), (OverVector[E])=(Subscript[(OverVector[E]), o]), C=(1/2)(Subscript[C, o]) e Q=(Subscript[Q, o])

Considere as seguintes situações:

Devido a um acidente, o dielétrico de permitividade relativa ({{(Subscript[ε, r])=10 de um condensador plano partiu-se pelo meio, deixando uma separação b entre as duas metades do dielétrico de espessura inicial d=2 mm. Sabendo que a capacidade C do condensador diminuiu agora para metade do valor que tinha, determine o valor de b. Determine as cargas de polarização que aparecem nos dielétricos., }})

Noutra altura o dielétrico apenas cobria uma área (Subscript[A, 1]) das 
({{armaduras de área total A=(Subscript[A, 1])+(Subscript[A, 2]), como indicado na figura ao lado. Determine agora a capacidade C do condensador em função da área coberta (Subscript[A, 1]). Determine ainda a densidade de carga livre em cada região (Subscript[A, 1]) e (Subscript[A, 2]) da armadura, e as cargas de polarização no dielétrico., }})

Respostas:

b=0.2 mm;   Se V=(c^te), (Subscript[σ, p])=((9 (Subscript[ε, o])V )/(2 d)).  Se  Q=(c^te), (Subscript[σ, p])=∓((9 Q)/(10 A)).

C=(((Subscript[ε, o])(A+9 (Subscript[A, 1])) )/d); Se V=(c^te),  ({{{, ({{(Subscript[(Subscript[σ, 1]), c])=, 10(Subscript[ε, o])(V/d)}, {(Subscript[(Subscript[σ, 2]), c])=, (Subscript[ε, o])(V/d)}, {(Subscript[(Subscript[σ, 1]), p])=, ∓9(Subscript[ε, o])(V/d)}})}}),  se Q=(c^te), ({{{, ({{(Subscript[(Subscript[σ, 1]), c])=, ((10 Q)/(A+9 (Subscript[A, 1])))}, {(Subscript[(Subscript[σ, 2]), c])=, (Q/(A+9 (Subscript[A, 1])))}, {(Subscript[(Subscript[σ, 1]), p])=, ∓((9 Q)/(A+9 (Subscript[A, 1])))}})}})

Duas esferas condutoras, ôcas e concêntricas, de raios (Subscript[R, 1])=2 cm e (Subscript[R, 2])=6 cm e espessura desprezável são carregadas até atingirem potenciais (Subscript[φ, 1])=6 V e (Subscript[φ, 2])=1 V.

Deduza a expressão para o potencial φ(r) em todas as regiões do espaço.

Determine o campo eléctrico (OverVector[E]) nas mesmas regiões. Devem-se esperar descontinuidades no campo elétrico? Onde e porquê ?

Calcule as cargas (Subscript[Q, 1]) e (Subscript[Q, 2]) de cada esfera.

Determine a capacidade C deste sistema visto como um condensador.

Qual é a pressão electroestática à superfície de cada esfera ?

Respostas:

φ(r)=({{{,  , ({{6 , (r≤ (Subscript[R, 1]))}, {(3/20) ((1/r)-10), ((Subscript[R, 1])≤ r≤(Subscript[R, 2]))}, {(3/(50 r)), ((Subscript[R, 2])≤ r)}})}})   (V)

(OverVector[E])((OverVector[r]))=({{{,  , ({{0 , (r≤ (Subscript[R, 1]))}, {(3/(20(r^2)))(Subscript[(OverVector[e]), r]), ((Subscript[R, 1])≤ r≤(Subscript[R, 2]))}, {(3/(50(r^2)))(Subscript[(OverVector[e]), r]), ((Subscript[R, 2])≤ r)}})}})   ((V/m)) ;     Δ(OverVector[E])((Subscript[R, 1]))=375 ((V/m))  e  Δ(OverVector[E])((Subscript[R, 2]))=-25 ((V/m))

(Subscript[Q, 1])=16.7   (pC)    e   (Subscript[Q, 2])=-10   (pC)

C=3.33  (pF)

Um condensador de placas paralelas tem uma área A=0.1 (m^2) e uma distância entre placas de d=3 mm. A meio no seu interior está uma placa de nylon de espessura s=1 mm. A constante dielétrica relativa do nylon é (Subscript[ϵ, r])=3.4, e suporta um campo eléctrico máximo de 14×(10^6)  (V/m).  A constante dielétrica relativa do ar é (Subscript[ϵ, r])=1.00059∼1 e suporta um campo eléctrico máximo de 3×(10^6)  (V/m). A carga no condensador é Q=1.5×(10^(-8)) C .

Calcule o campo eléctrico no ar (Subscript[(OverVector[E]), ar]) e no nylon (Subscript[(OverVector[E]), ny]) dentro do condensador. Determine a partir daí as densidades de carga de polarização no nylon.

Qual é a capacidade C do condensador?

Qual é a energia U necessária para carregar o condensador e qual a energia armazenada no campo elétrico final?

Qual é a maior carga que esse condensador pode ter nas armaduras sem correr riscos de uma descarga?

Estando o condensador em circuito aberto, qual é a tensão (Subscript[V, ar]) entre as armaduras quando a placa de nylon é retirada? Como se compara à tensão (Subscript[V, ny]) com a placa de nylon?

Qual é o trabalho 𝒲     que é preciso efectuar para retirar essa placa de nylon?

Respostas:

({{(Subscript[(OverVector[E]), ny])=4.989×(10^3) (SubPlus[(OverVector[n])]), ((V/m))}})  e  ({{(Subscript[(OverVector[E]), ar])=16.964×(10^3)(SubPlus[(OverVector[n])]), ((V/m))}})

C=3.85× (10^(-1))      (nF)

U=2.92×(10^(-7))   (J)

(Subscript[Q, rot])=42×(10^(-6))  (C)

(Subscript[V, ar])=50.89  (V)  >(Subscript[V, ny])=38.92  (V)

𝒲    =8.98×(10^(-8))  (J)