Eletromagnetismo e Ótica (MEC/LEGM)

Problemas

Um cilindro condutor infinito, de raio R e carga λ por unidade de comprimento, está rodeado por um dielétrico de espessura infinita, cuja permitividade ε=(Subscript[ε, o])(1+a(R/r)) varia com a distância r ao eixo do cilindro. Determine:

O campo elétrico (OverVector[E])((OverVector[r])) em todas a regiões do espaço.

O potencial elétrico φ(r) dentro e fora do cilindro.

O vector de polarização (OverVector[P])((OverVector[r])).

A densidade de carga de polarização (Subscript[ρ, p])((OverVector[r])) no dielétrico.

A densidade de carga de polarização (Subscript[σ, p]) à superfície do dielétrico.

A carga total de polarização no dielétrico.

Respostas:

({{R. -) , ({{\[Piecewise],  , ({{(OverVector[E])((OverVector[r]))= ((λ/(2 π (Subscript[ε, o]) (r+a R))))(Subscript[(OverVector[e]), r]), (R<r)}, {(OverVector[E])((OverVector[r]))=0, (r<R)}})}})     ((V/m)), R. -) , ({{\[Piecewise],  , ({{φ(r)=-((λ )/(2 π (Subscript[ε, o])))log(((a R+r)/((a+1) R))), (R<r)}, {φ(r)=0, (r<R)}})}})   (V)}, {R. -) , (OverVector[P])((OverVector[r]))=(( λ a R )/(2π  r (r+a R)))(Subscript[(OverVector[e]), r])   ((C/(m^2))), R. -) , (Subscript[ρ, p])(r)=(( λ a R )/(2π  r (((r+a R))^2)))   ((C/(m^3)))}, {R. -) , (Subscript[σ, p])(R)=-(( λ a )/(2π  R (1+a)))  ((C/(m^2))), R. -) , (Subscript[Q, p])=0}})

Um condensador esférico tem uma armadura interior de raio (Subscript[R, 1]) concêntrica com uma armadura exterior, de raio menor (Subscript[R, 2]) e raio maior (Subscript[R, 3]).  O espaço entre as armaduras está preenchido com dois dielétricos LHI de permitividades (Subscript[ε, 1]) e (Subscript[ε, 2]), com uma superfície de contacto esférica à distância d do centro da armadura interior. Assumindo que a armadura interior tem uma carga +Q e a armadura exterior está ligada à terra:

Determine o campo elétrico (OverVector[E])((OverVector[r])) em todas as regiões do espaço.

Determine o potencial elétrico φ(r) em função da distância r ao centro do condensador, assumindo que o potencial na terra é zero. Faça um gráfico do potencial em função de r.

Determine a capacidade C do condensador.

Calcule o vector de polarização (OverVector[P])((OverVector[r])) nos dois dielétricos.

Identifique as regiões onde existem cargas de polarização e determine as respectivas densidades de carga e polaridade.

Respostas:

({{R. -) , ({{\[Piecewise],  , ({{(OverVector[E])=0, (r<(Subscript[R, 1])  & (Subscript[R, 2])<r)}, {(OverVector[E])=((Subscript[Q, 1])/(4π (Subscript[ε, 1])))(1/(r^2))(Subscript[(OverVector[e]), r]), ((Subscript[R, 1])≤ r≤ d)}, {(OverVector[E])=((Subscript[Q, 1])/(4π (Subscript[ε, 2])))(1/(r^2))(Subscript[(OverVector[e]), r]), (d≤r≤(Subscript[R, 2]))}})}}), R. -) , ({{\[Piecewise],  , ({{φ(r)=0, ((Subscript[R, 2])<r)}, {φ(r)=((Subscript[Q, 1])/(4 π (Subscript[ε, 2])))((1/r)-(1/(Subscript[R, 2]))), (d≤ r≤ (Subscript[R, 2]))}, {φ(r)=φ(d)+((Subscript[Q, 1])/(4 π (Subscript[ε, 1])))((1/r)-(1/d)), ((Subscript[R, 1])≤r≤d)}, {φ(r)=φ((Subscript[R, 1])), (r<(Subscript[R, 1]))}})}})}, {R. -) , C=((4π (Subscript[ε, 1]) (Subscript[ε, 2])  d  (Subscript[R, 1]) (Subscript[R, 2]) )/((Subscript[ε, 1])(Subscript[R, 1]) ((Subscript[R, 2])-d) +(Subscript[ε, 2])(Subscript[R, 2])(d-(Subscript[R, 1]))  ))   (F), R. -) , ({{\[Piecewise],  , ({{(OverVector[P])=((((Subscript[ε, 1])-(Subscript[ε, o]))(Subscript[Q, 1]))/(4π (Subscript[ε, 1])))(1/(r^2))(Subscript[(OverVector[e]), r]), ((Subscript[R, 1])≤ r≤ d)}, {(OverVector[P])=((((Subscript[ε, 2])-(Subscript[ε, o]))(Subscript[Q, 1]))/(4π (Subscript[ε, 2])))(1/(r^2))(Subscript[(OverVector[e]), r]), (d≤r≤(Subscript[R, 2]))}})}})}, {R. -) , ({{\[Piecewise],  , ({{(Subscript[σ, p])((Subscript[R, 1]))=-((((Subscript[ε, 1])-(Subscript[ε, o])))/(4π (Subscript[ε, 1])))((Subscript[Q, 1])/((Subscript[R, 1])^2)),  }, {(Subscript[σ, p])(d)=(((Subscript[ε, o])((Subscript[ε, 1])-(Subscript[ε, 2])))/(4π (Subscript[ε, 1])(Subscript[ε, 2])))((Subscript[Q, 1])/(d^2)),  }, {(Subscript[σ, p])((Subscript[R, 2]))=((((Subscript[ε, 2])-(Subscript[ε, o])))/(4π (Subscript[ε, 2])))((Subscript[Q, 1])/((Subscript[R, 2])^2)),  }, {(Subscript[ρ, p])(r)≡0,  }})}}), , }})

Um condensador cilíndrico constituído por dois tubos ôcos de raios (Subscript[R, 1]) e (Subscript[R, 2]) e comprimento L são parcialmente imersos sobre um líquido dielétrico de densidade ρ e permitividade ε. Uma bateria fornece uma tensão V entre as armaduras dos condensadores.

Determine a expressão do campo elétrico (OverVector[E])((OverVector[r])) entre as armaduras nas regiões secas e molhadas.

Assumindo que o condensador está mergulhado até uma profundidade ℓ desde a superfície do líquido, e que este sobe até uma altura h acima da superfície dentro do condensador,  determine as cargas elétricas (Subscript[Q, 1]) e (Subscript[Q, 2]) armazenadas nas partes seca e molhada da armadura interior.

Determine a capacidade C(ℓ,h) do condensador nesta situação.

Determine altura h a que o líquido ascende dentro do condensador.

Respostas:

({{R. -) , ({{\[Piecewise],  , ({{(OverVector[E])((OverVector[r]))=((Subscript[σ, 1])/(Subscript[ε, o]))((Subscript[R, 1])/r), "na região seca"}, {(OverVector[E])((OverVector[r]))=((Subscript[σ, 2])/ε)((Subscript[R, 1])/r), "na região molhada"}})}}), R. -) , ({{\[Piecewise],  , ({{(Subscript[Q, 1])=((2 π (Subscript[ε, o])V (L-ℓ-h) )/(log(((Subscript[R, 2])/(Subscript[R, 1]))))),  }, {(Subscript[Q, 2])=((2 π ε V (ℓ+h))/(log(((Subscript[R, 2])/(Subscript[R, 1]))))),  }})}})}, {R. -) , C(ℓ,h)=((2π ((ε -(Subscript[ε, o])) (ℓ+h) +(Subscript[ε, o])L))/(log(((Subscript[R, 2])/(Subscript[R, 1])))))    (F), R. -) , C(ℓ,h)=((2π ((ε -(Subscript[ε, o])) (ℓ+h) +(Subscript[ε, o])L))/(log(((Subscript[R, 2])/(Subscript[R, 1])))))    (F)}})

Considere o seguinte diagrama dum circuito com capacidades (Subscript[C, 1])=10 pF, (Subscript[C, 2])=20 pF e (Subscript[C, 3])=30 pF.

Determine a capacidade equivalente (Subscript[C, eq]) do sistema entre os pontos AB.

Determine a capacidade equivalente (Subscript[C, eq]) do sistema entre os pontos DE.

Respostas:

(Subscript[C, eq])=45 pF

"\!\(\*SubscriptBox[\(C\), \(eq\)]\)="((40 )/3)pF

Um condensador de capacidade  (Subscript[C, 1])=10μ F é carregado até atingir uma tensão (Subscript[V, o])=15 V. Depois é ligado em série com um condensador descarregado de capacidade (Subscript[C, 2])=5  μ F em circuito aberto.

Explique o que acontece às cargas e tensões dos condensadores (Subscript[C, 1]) e (Subscript[C, 2]) nessas condições.

Quando o circuito é fechado como na figura (a) determine as cargas (Subscript[Q, 1]), (Subscript[Q, 2]) e tensões (Subscript[V, 1]), (Subscript[V, 2]) para os condensadores (Subscript[C, 1]) e (Subscript[C, 2]).

Assumindo agora que o circuito é fechado em série com uma bateria que pode fornecer uma tensão V=50 V, como indicado na figura (b), determine as cargas e tensões nos condensadores.

Respostas:

Nada.

({{"(Subscript[Q, 1])"=(Subscript[C, 1])(Subscript[V, 1]), ";", "(Subscript[Q, 2])"=(Subscript[C, 2])(Subscript[V, 2]), ";", "\!\(\*SubscriptBox[\(V\), \(1\)]\)"=(((Subscript[C, 1]) (Subscript[V, o]))/((Subscript[C, 1])+(Subscript[C, 2]))), ";", "\!\(\*SubscriptBox[\(V\), \(2\)]\)"=-(((Subscript[C, 1]) (Subscript[V, o]))/((Subscript[C, 1])+(Subscript[C, 2])))}})

({{"(Subscript[Q, 1])"=(Subscript[C, 1])(Subscript[V, 1]), ";", "(Subscript[Q, 2])"=(Subscript[C, 2])(Subscript[V, 2]), ";", "\!\(\*SubscriptBox[\(V\), \(1\)]\)"=(((Subscript[C, 1]) (Subscript[V, o])-(Subscript[C, 2])V)/((Subscript[C, 1])+(Subscript[C, 2]))), ";", "\!\(\*SubscriptBox[\(V\), \(2\)]\)"=-(((Subscript[C, 1]) (V+(Subscript[V, o])))/((Subscript[C, 1])+(Subscript[C, 2])))}})