Electromagnetismo e Óptica (LEIC)
http://fisica.ist.utl.pt/~leic_f2

Definições iniciais

Definições Globais

SetDirectory[DirectoryName["WindowTitle"/.NotebookInformation[InputNotebook[]]]];

If[Cases[Contexts[],"Notation`"]=={},Get["Notation`"],NotebookClose[Notebooks[]//Cases[#,z_NotebookObject/;StringMatchQ[ToString[z],"*Notation*"]][[1]]&]]

SetOptions[SelectedNotebook[],WindowSize->{1400,900}];

Off[General::"spell1",General::"obspkg",Graphics`Graphics3D`ListSurfacePlot3D::"shdw",Graphics`Shapes`RotateShape::"shdw",General::"newpkg",Symbolize::"bsymbexs"];

({{Symbolize[(Subscript[m, _])], Symbolize[(Subscript[(OverVector[u]), _]) ], Symbolize[(Subscript[(OverVector[v]), _])], Symbolize[(_)'], Symbolize[(OverVector[R])], Symbolize[(OverVector[r])], Symbolize[(OverVector[v])], Symbolize[(OverVector[V])], Symbolize[(Subscript[(OverVector[𝕖]), _])]}, {Symbolize[(Subscript[ϵ, o])], Symbolize[(Subscript[μ, o])], Symbolize[(OverVector[E])], Symbolize[(OverVector[F])], \[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder]}});

Definições Gráficas

As minhas definições gráficas:

<<Graphics`Shapes`

SetOptions[Manipulator,{ImageSize->Tiny,AppearanceElements->{ "InputField"}}];

G2=Graphics;
G3=Graphics3D;
TS=TranslateShape;
RS=RotateShape;
LI=Line;
DX=Dashing[{#1,#1,#1}]&;
rd=Red;bl=Blue;gr=Green;
Clear[AS];
AS[sh_,sc_]:=AffineShape[sh,sc]/.Point[z_]:>Point[z sc]

Repõe a definição de Sphere do sistema

Unprotect[Graphics`Shapes`Sphere];Remove[Graphics`Shapes`Sphere]
Unprotect[Sphere];Sphere=System`Sphere;

Definição de seta 2D usando o vector e o ponto base como argumentos.

vec2[x_,y_]:=Arrow[{y,y+x}]

Redefinição dos cones e bases dos vectores 3D de 10 para 6 arestas.

bs[s_]:=TranslateShape[AffineShape[Cone[0.05,0,6],{s,s,s}],{0,0,1-0.2 s}]
cn[s_]:=TranslateShape[AffineShape[Cone[0.05,0.1,6],{s,s,s}],{0,0,1-0.1 s}]

Protótipo de vector unitário (Subscript[(OverVector[e]), y])

(Subscript[e, y])[s_:.5]:={Line[{{0,0,0},{0,1-s .2,0}}],RotateShape[cn[s],0,(π/2),0],RotateShape[bs[s],0,(π/2),0]}

Definição de vector 3D

V3D[x_,s_:0.5]:=Block[{M=Ω[x]},AffineShape[(Subscript[e, y])[s]/.z_Polygon:>Map[M.#1&,z,{2}]/.z_Line:>Map[M.#1&,z,{2}]/.z_Point:>Map[M.#1&,z,{1}],abs[x] {1,1,1}]]
Vect[v_,x_,s_:0.5]:=TranslateShape[V3D[v,(s/(abs[v]))],x]

NL={z_Polygon:>{EdgeForm[],z}};

Definições de versores ud[(OverVector[v])] dum vector (OverVector[v])

TH=AbsoluteThickness[#1]&;
abs[x_]:=FullSimplify[(Sqrt[x.x])]
ud[x_]:=FullSimplify[(x/(Sqrt[x.x]))]

Construção de rotação (Subscript[(OverVector[e]), y])->(OverVector[u]). Designando por u=|(OverVector[u])| e (OverHat[𝕦])=(1/u)(OverVector[u]) o vector de cosenos directores de (OverVector[u]), precisamos de construir dois vectores auxiliares (OverHat[𝕩]) e (OverHat[𝕫]) que formem um triedro ortonormado com (OverHat[𝕦]), de forma que a matriz Ω=((Subscript[(OverVector[e]), j]^′).(Subscript[(OverVector[e]), i])) defina a rotação pretendida. Assim (OverHat[𝕫])=(OverHat[𝕦])×(Subscript[𝕖, y]) e (OverHat[𝕩])=(OverHat[𝕦])×(OverHat[𝕫]). Usando (Subscript[(OverVector[e]), 1]^′)=(OverHat[𝕩]),(Subscript[(OverVector[e]), 2]^′)=(OverHat[𝕦]),(Subscript[(OverVector[e]), 3]^′)=(OverHat[𝕧]), obtemos Ω.

Ω[{0,y_,0}]:=Sign[y]IdentityMatrix[3];
Ω[u_]:=Block[{𝕦,𝕫,𝕩},{ux,uy,uz}={u[[1]],u[[2]],u[[3]]};𝕦={ux,uy,uz};𝕫={-uz,0,ux};𝕩={ux uy,-(ux^2)-(uz^2),uy uz};𝕊={𝕩,𝕦,𝕫};𝕄=Transpose[(((#1)/(abs[#1]))&)/@𝕊]]

Rotações base

𝕏=(({{1, 0, 0}, {0, 0, -1}, {0, 1, 0}}));                    𝕐=(({{0, 0, -1}, {0, 1, 0}, {1, 0, 0}}));                     ℤ=(({{0, -1, 0}, {1, 0, 0}, {0, 0, 1}}));

Sistema de referência {O,(Subscript[(OverVector[e]), x]),(Subscript[(OverVector[e]), y]),(Subscript[(OverVector[e]), z])}

({{(Subscript[(OverVector[e]), x])={1,0,0};,  , (Subscript[(OverVector[e]), y])={0,1,0};,  , (Subscript[(OverVector[e]), z])={0,0,1};,  , (OverVector[O])={0,0,0}}});

Definições de arcos 2D e 3D

Clear[arc,arc2D]
arc2D[θ1_:0,θ2_:2 π,n_:100]:=Line[Append[Table[{Cos[q],Sin[q]},{q,θ1,θ1+θ2,((θ2)/n)}],{Cos[θ1+θ2],Sin[θ1+θ2]}]]
arc[θ1_:0,θ2_:2 π]:=arc2D[θ1,θ2]/.{x_,y_}:>{x,y,0}

Definições auxiliares; ring, dring, fr, disk,sphere, cyl

ring=ParametricPlot3D[(({{Cos[φ], Sin[φ], 0}, {-Sin[φ], Cos[φ], 0}, {0, 0, 1}})).{2+.05Cos[θ],0,.05Sin[θ]},{θ,0,2π},{φ,0,2π},PlotRange->1.1{{-2,2},{-2,2},{-2,4}},BoxRatios->{1,1,6/4},Mesh->False,PlotPoints->60,Boxed->False,Axes->None,ImageSize->500];
dring[ϕ_]:=ParametricPlot3D[(({{Cos[φ], -Sin[φ], 0}, {Sin[φ], Cos[φ], 0}, {0, 0, 1}})).{2+.05Cos[θ],0,.05Sin[θ]},{θ,0,2π},{φ,ϕ-π/50,ϕ+π/50},PlotRange->1.1{{-2,2},{-2,2},{-2,4}},BoxRatios->{1,1,6/4},Mesh->True,PlotPoints->5,Boxed->False,Axes->None,ImageSize->500];

fr[d_]:={vect[#,d(Subscript[(OverVector[e]), z]),.75]&/@{(Subscript[(OverVector[e]), x]),(Subscript[(OverVector[e]), y]),(Subscript[(OverVector[e]), z])},Lgd[{#,{0,0,d}+(#-.15(({{0, 1, 1}, {1, 0, 1}, {0, 0, 1}})).ud[#])&[ToExpression[#]]}]&/@{"(Subscript[(OverVector[e]), x])","(Subscript[(OverVector[e]), y])","(Subscript[(OverVector[e]), z])"}}/.vect->Vect;
disk=Graphics3D[Cylinder[{(OverVector[O]),-.1(Subscript[(OverVector[e]), z])},2],PlotRange->1.1{{-2,2},{-2,2},{-1,4}},BoxRatios->{1,1,5/4},Boxed->False,Axes->None,ImageSize->500];
sphere=Graphics3D[{{Opacity[.5],Sphere[(OverVector[O]),2]},Lgd[{"O",(OverVector[O]),{1,0}}]},Boxed->False,ImageSize->500];
frame=Graphics3D[{vect[2#,(OverVector[O]),1]&/@{(Subscript[(OverVector[e]), x]),(Subscript[(OverVector[e]), y]),(Subscript[(OverVector[e]), z])},Lgd[{#,(OverVector[O])+(2#-.2(({{0, 1, 1}, {1, 0, 1}, {1, 1, 0}})).ud[#])&[ToExpression[#]]}]&/@{"(Subscript[(OverVector[e]), x])","(Subscript[(OverVector[e]), y])","(Subscript[(OverVector[e]), z])"}}/.vect->Vect];
cyl[x_]:=Graphics3D[{Opacity[.6],Cylinder[{-.015(Subscript[(OverVector[e]), z]),.015(Subscript[(OverVector[e]), z])},(Sqrt[3.9-(x^2)])]}]
fig=Show@{ring,G3[{Lgd[{"λ=(Q/(2  πR))",2.5(Subscript[(OverVector[e]), y])}],{DX[.01],Line[{(OverVector[O]),-2(Subscript[(OverVector[e]), y])}],Lgd[{"R",-(1.5#+.12ℤ.#)&@(Subscript[(OverVector[e]), y])}]}}]};

Definições Texto

(Subscript[tr, z_]):=Sequence@@{FontFamily->"Times New Roman",FontWeight->Plain,FontSlant->Plain,FontSize->z}
Txt[sty__]:=((Text[style[#1,sty],##2]&)@@##1&)/.style:>Style
txt[z_,x_,off_:{0,0},fntf_:"Times New Roman"]:=Text[StyleForm[z,FontSize->12,FontFamily->fntf],x,off]

author={GrayLevel[.83],txt["AJRS-"<>(StringJoin@@ToString/@{
{Jan,Fev,Mar,Abr,Mai,Jun,Jul,Ago,Set,Out,Nov,Dez}[[#[[2]]]]," ",#[[3]],", ",#[[1]]}&@Date[]),{0,0},{0,0},"Times"]};
cprt=(Epilog->Inset[Graphics[author],Scaled[{.98,.5}],Automatic,Automatic,{0,1}]);
SetOptions[Graphics3D,cprt];

Lgd[z__List]:=(Txt[(Subscript[tr, 12])]/@{z})
Legend=Lgd;

Problema 1.2

A figura mostra três cargas formando um triângulo rectângulo. Determinar a força (vectorial) sobre a carga (Subscript[q, 3]).

Dados

({{(Subscript[q, 1])=50×(10^(-6))            (* Coulomb *), (Subscript[q, 2])=-80×(10^(-6))        (* Coulomb *), (Subscript[q, 3])=10×(10^(-6))            (* Coulomb *)}});

({{(Subscript[(OverVector[e]), x])={1,0,0}, (Subscript[(OverVector[e]), y])={0,1,0}, (Subscript[(OverVector[e]), z])={0,0,1}, (OverVector[O])={0,0,0}}});
({{(Subscript[q, 1])=50×(10^(-6))            (* Coulomb *), (Subscript[q, 2])=-80×(10^(-6))        (* Coulomb *), (Subscript[q, 3])=10×(10^(-6))            (* Coulomb *)}});
θ=ArcTan[(4/3)]        (* Rad *);	     ângulo entre a hipotenusa e o cateto de 30 cm.	;
({{(Subscript[(OverVector[r]), 1])=(OverVector[O])                                                                          (* Metro *)}, {(Subscript[(OverVector[r]), 2])=0.5 (Subscript[(OverVector[e]), x])                                                              (* Metro *)}, {(Subscript[(OverVector[r]), 3])=0.3(Cos[θ](Subscript[(OverVector[e]), x])+Sin[θ](Subscript[(OverVector[e]), y]))         (* Metro *)}});
fig1=G3[{Sphere[#,.01]&/@{(Subscript[(OverVector[r]), 1]),(Subscript[(OverVector[r]), 2]),(Subscript[(OverVector[r]), 3])},LI[{(Subscript[(OverVector[r]), 1]),(Subscript[(OverVector[r]), 2])}],LI[{(Subscript[(OverVector[r]), 2]),(Subscript[(OverVector[r]), 3])}],LI[{(Subscript[(OverVector[r]), 1]),(Subscript[(OverVector[r]), 3])}],Txt[(Subscript[tr, 12])]/@{{"(Subscript[q, 1])=50μC",(Subscript[(OverVector[r]), 1]),{0,2}},{"(Subscript[q, 2])=-80μC",(Subscript[(OverVector[r]), 2]),{0,2}},{"(Subscript[q, 3])=10μC",(Subscript[(OverVector[r]), 3]),{0,-2}},{"50cm",.5(Subscript[(OverVector[r]), 2]),{0,1},(Subscript[(OverVector[r]), 2])[[{1,2}]]},{"40cm",.5(Subscript[(OverVector[r]), 2])+.5(Subscript[(OverVector[r]), 3]),{0,-1},-((Subscript[(OverVector[r]), 3])-(Subscript[(OverVector[r]), 2]))[[{1,2}]]},{"30cm",.5(Subscript[(OverVector[r]), 3]),{0,-1},(Subscript[(OverVector[r]), 3])[[{1,2}]]}}},PlotRange->{{-.05,.6},{-.05,.3},{-.01,.01}},BoxRatios->{1,.32/.65,.02/.65},ViewPoint->{0,0,2.3},Boxed->False,ImageSize->{557.,Automatic}]

Grandezas electrostáticas em unidades SI

SIUnits=({{(Subscript[q, e])-> 1.602176462 ×(10^(-19))                (* Coulomb *), Carga do Electrão	}, {(Subscript[ϵ, o])->8.854187817×(10^(-12))                  (* ((Ampere Segundo)/(Metro Volt)) *), Permitividade  eléctrica do vácuo.	}, {(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))-> (10^(-7))×(c^2)                (* ≈ 9×(10^9) ((Metro Volt)/(Ampere Segundo)) *), Constante Eléctrica	}, {c->299792458                    (* (Metro/Segundo) *), Velocidade da luz  no vácuo.}})\[Transpose][[1]];

Solução-1

Começamos por escolher um sistema de referência adequado (origem + versores de base). Neste caso muito particular podemos colocar a origem na posição da carga (Subscript[q, 3]) e as direcções de referência segundo os catetos do triângulo rectângulo.

fig2=SH[{fig1,
G3[{ Vect[-.1{Cos[θ],Sin[θ],0},(Subscript[(OverVector[r]), 3]),.1],Vect[-.1{-Sin[θ],Cos[θ],0},(Subscript[(OverVector[r]), 3]),.1] ,Vect[(Subscript[(OverVector[r]), 1])-(Subscript[(OverVector[r]), 3]),(Subscript[(OverVector[r]), 3]),.1],Vect[(Subscript[(OverVector[r]), 2])-(Subscript[(OverVector[r]), 3]),(Subscript[(OverVector[r]), 3]),.1],Legend[{"(1/10)(Subscript[(OverVector[e]), x])",(Subscript[(OverVector[r]), 3])-.1{Cos[θ],Sin[θ],0},{0,-2}},{"(1/10)(Subscript[(OverVector[e]), y])",(Subscript[(OverVector[r]), 3])-.1{-Sin[θ],Cos[θ],0},{0,-2}},{"(Subscript[(OverVector[r]), 1])",(Subscript[(OverVector[r]), 1])-.1((Subscript[(OverVector[r]), 1])-(Subscript[(OverVector[r]), 3])),{0,-2}},{"(Subscript[(OverVector[r]), 2])",(Subscript[(OverVector[r]), 2])-((Subscript[(OverVector[r]), 2])-(Subscript[(OverVector[r]), 3])) .1,{0,-2}}] },PlotRange->{{-.05,.6},{-.05,.3},{-.01,.01}},BoxRatios->{1,.32/.65,.02/.65},ViewPoint->{0,0,2.3},Boxed->False,ImageSize->{557.,Automatic}]}]

Lei de Coulomb —  o campo criado na posição (OverVector[r]) por uma carga q na posição (Subscript[(OverVector[r]), q]) é dado pela expressão:

(OverVector[E])[(OverVector[r]),q,(Subscript[(OverVector[r]), q])]=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))(q/((\[LeftBracketingBar](OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), q])\[RightBracketingBar])^2))(Subscript[(OverVector[u]), (OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), q])])	- note-	(* (N/C) *).	;

(Subscript[(OverVector[r]), P])={1,1};(Subscript[(OverVector[r]), q])={2,0};(OverVector[O])={0,0};G2[{vec2[(Subscript[(OverVector[r]), P]),(OverVector[O])],vec2[(Subscript[(OverVector[r]), q]),(OverVector[O])],{Red,vec2[(Subscript[(OverVector[r]), P])-(Subscript[(OverVector[r]), q]),(Subscript[(OverVector[r]), q])+{.011,.012}],Blue,TH[2],Arrowheads[.075],vec2[((Subscript[(OverVector[r]), P])-(Subscript[(OverVector[r]), q])).5,(Subscript[(OverVector[r]), P])+{.011,.012}]},Point[(Subscript[(OverVector[r]), q])1.01],Point[(Subscript[(OverVector[r]), P])1.009],Lgd[{"(Subscript[(OverVector[r]), q])",.9(Subscript[(OverVector[r]), q]),{3,-1.2}},{"q",1.01(Subscript[(OverVector[r]), q]),{0,1}},{"(Subscript[(OverVector[r]), P])",.9(Subscript[(OverVector[r]), P]),{2,-1.2},(Subscript[(OverVector[r]), P])},{"(Subscript[(OverVector[r]), P])-(Subscript[(OverVector[r]), q])",1/2(Subscript[(OverVector[r]), P])+1/2(Subscript[(OverVector[r]), q]),{0,-1.2},-(Subscript[(OverVector[r]), P])+(Subscript[(OverVector[r]), q])},{"P",(Subscript[(OverVector[r]), P])1.01,{-2,-1}},{"O",(OverVector[O]),{1,1}},{"(OverVector[E])((Subscript[(OverVector[r]), P]))  para  q>0",(Subscript[(OverVector[r]), P])+{.011,.012}+((Subscript[(OverVector[r]), P])-(Subscript[(OverVector[r]), q])).5,{-1,-1}}]},ImageSize->250]

A distância |(OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), q])|=(Sqrt[((OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), q]))·((OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), q]))])=(Sqrt[(((x-(Subscript[x, q])))^2)+(((y-(Subscript[y, q])))^2)+(((z-(Subscript[z, q])))^2)])=(Sqrt[(r^2)+((Subscript[r, q])^2)-2 (OverVector[r])·(Subscript[(OverVector[r]), q])]) é independente da escolha de origem ou direcções de referência.

O versor (Subscript[(OverVector[u]), (OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), q])])=(((OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), q]))/(|(OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), q])|)) tem magnitude |(Subscript[(OverVector[u]), (OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), q])])|=1 e aponta de (Subscript[(OverVector[r]), q]) para (OverVector[r]).

O campo eléctrico não é mais que a força sentida por uma carga unitária Q=1 C.

A força que uma carga Q sente quando colocada na posição (Subscript[(OverVector[r]), Q]) no campo anterior é igual ao produto da carga pelo campo eléctrico.

(OverVector[F])[Q,(Subscript[(OverVector[r]), Q]),q,(Subscript[(OverVector[r]), q])]=Q(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), Q]),q,(Subscript[(OverVector[r]), q])]=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((Q q)/((\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), Q])-(Subscript[(OverVector[r]), q])\[RightBracketingBar])^2))(Subscript[(OverVector[u]), (Subscript[(OverVector[r]), Q])-(Subscript[(OverVector[r]), q])]) 	(* N *).	;

Sistema de referência (Subscript[(OverVector[e]), x]),(Subscript[(OverVector[e]), y]), O.

({{(Subscript[(OverVector[e]), x])={1,0}, (Subscript[(OverVector[e]), y])={0,1}, (OverVector[O])={0,0}}});

Cargas e posições

({{(Subscript[(OverVector[r]), 1])=(3/10)(Subscript[(OverVector[e]), x]), \[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), 3])-(Subscript[(OverVector[r]), 1])\[RightBracketingBar]=\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), 1])\[RightBracketingBar]=(3/10)                                    , (Subscript[(OverVector[u]), (Subscript[(OverVector[r]), 3])-(Subscript[(OverVector[r]), 1])])=-(Subscript[(OverVector[e]), x])}, {(Subscript[(OverVector[r]), 2])=(4/10)(Subscript[(OverVector[e]), y])                                       , \[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), 3])-(Subscript[(OverVector[r]), 2])\[RightBracketingBar]=\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), 2])\[RightBracketingBar]=(4/10), (Subscript[(OverVector[u]), (Subscript[(OverVector[r]), 3])-(Subscript[(OverVector[r]), 2])])=-(Subscript[(OverVector[e]), y])}, {(Subscript[(OverVector[r]), 3])=(OverVector[O])        ,  ,  }})                    ;

Força sobre a carga (Subscript[q, 3])

({{(OverVector[F])[(Subscript[q, 3]),(OverVector[O]),(Subscript[q, 1]),(Subscript[(OverVector[r]), 1])]== - (1/(4π (Subscript[ϵ, o])))(((Subscript[q, 1])(Subscript[q, 3]))/((\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), 1])\[RightBracketingBar])^2))(Subscript[(OverVector[e]), x])        ;, (OverVector[F])[(Subscript[q, 3]),(OverVector[O]),(Subscript[q, 2]),(Subscript[(OverVector[r]), 2])]==-  (1/(4π (Subscript[ϵ, o])))(((Subscript[q, 2])(Subscript[q, 3]))/((\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), 2])\[RightBracketingBar])^2))(Subscript[(OverVector[e]), y])}})        ;

(OverVector[F])[(Subscript[q, 3]),(OverVector[O])]==(∑_q)(OverVector[F])[(Subscript[q, 3]),(OverVector[O]),q,(Subscript[(OverVector[r]), q])]==((Subscript[q, 3])/(4π (Subscript[ϵ, o])))(-((Subscript[q, 1])/((\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), 1])\[RightBracketingBar])^2))(Subscript[(OverVector[e]), x])-((Subscript[q, 2])/((\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), 2])\[RightBracketingBar])^2))(Subscript[(OverVector[e]), y]))

(OverVector[F])[(Subscript[q, 3]),(OverVector[O])]== 10×(10^(-6))×9×(10^9)×(-((50×(10^(-6)))/(((3×(10^(-1))))^2))(Subscript[(OverVector[e]), x])+((80×(10^(-6)))/(((4×(10^(-1))))^2))(Subscript[(OverVector[e]), y]))=-50(Subscript[(OverVector[e]), x])+45(Subscript[(OverVector[e]), y])    (* N *)

Solução-2

No caso geral  temos que poder resolver o problema sem auxílio de simetrias particulares. Para ilustrar vamos  escolher a origem na posição da carga (Subscript[q, 1]) e os eixos (Subscript[(OverVector[e]), x]),(Subscript[(OverVector[e]), y]) como indicado.

fig2=SH[{fig1,
G3[{ Vect[.1(Subscript[(OverVector[e]), x]),(OverVector[O]),.1],Vect[.1(Subscript[(OverVector[e]), y]),(OverVector[O]),.1] ,Vect[(Subscript[(OverVector[r]), 3]),(OverVector[O]),.1],Vect[(Subscript[(OverVector[r]), 2]),(OverVector[O]),.1],AS[arc[0,θ],.05{1,1,1}],{DX[.01],LI[{(Subscript[(OverVector[r]), 3]){1,0,0},(Subscript[(OverVector[r]), 3])}]},Legend[{"(1/10)(Subscript[(OverVector[e]), x])",.1(Subscript[(OverVector[e]), x]),{0,2}},{"(1/10)(Subscript[(OverVector[e]), y])",.1(Subscript[(OverVector[e]), y]),{2,0}},{"(Subscript[(OverVector[r]), 2])",.9(Subscript[(OverVector[r]), 2]),{0,-1}},{"(Subscript[(OverVector[r]), 3])",(Subscript[(OverVector[r]), 3]) .8,{0,-2}},{"cos(θ)×30cm ",(((Subscript[(OverVector[r]), 3])[[1]])/(2Cos[θ/2]))(Subscript[(OverVector[e]), x]),{-.1,-1.5}},{"sin(θ)×30cm ",(((Subscript[(OverVector[r]), 3])[[1]])/(Cos[θ/2])){Cos[θ/2],Sin[θ/2],0},{-.5,-1},{0,1}},{"θ",.04{Cos[θ/2],Sin[θ/2],0}}] },PlotRange->{{-.05,.6},{-.05,.3},{-.01,.01}},BoxRatios->{1,.32/.65,.02/.65},ViewPoint->{0,0,2.3},Boxed->False,ImageSize->{557.,Automatic}]}]

Dados

Sistema de referência

({{(Subscript[(OverVector[e]), x])={1,0}, (Subscript[(OverVector[e]), y])={0,1}, (OverVector[O])={0,0}}});

Cargas e posições

({{(Subscript[q, 1])=50.×(10^(-6))    (* C *), (Subscript[q, 2])=-80.×(10^(-6))    (* C *), (Subscript[q, 3])=10.×(10^(-6))    (* C *)}});

θ=ArcTan[(4/3)]        (* Rad *);	     ângulo entre a hipotenusa e o cateto de 30 cm.	;

Cos[θ]->({{(3/5), Sin[θ]->(4/5)}})

({{(Subscript[(OverVector[r]), 1])=(OverVector[O])                                                                          (* m *)}, {(Subscript[(OverVector[r]), 2])=(5/10) (Subscript[(OverVector[e]), x])                                                              (* m *)}, {(Subscript[(OverVector[r]), 3])==  (3/10)(Cos[θ](Subscript[(OverVector[e]), x])+Sin[θ](Subscript[(OverVector[e]), y]))         (* m *)}, {(Subscript[(OverVector[r]), 3])= (9/50)(Subscript[(OverVector[e]), x])+(12/50)(Subscript[(OverVector[e]), y])}});

Campo eléctrico (=Força por unidade de carga)

(OverVector[E])[(OverVector[r]),q,(Subscript[(OverVector[r]), q])]==(1/(4(Subscript[πϵ, o])))(q/((\[LeftBracketingBar](OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), q])\[RightBracketingBar])^3))((OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), q]))	- note-	Campo  eléctrico gerado por uma carga q.	;

(OverVector[E])[x_,q_,y_]:=(q/(4π (Subscript[ϵ, o])))((#)/(((#.#))^(3/2)))&@(x-y)

(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), 3])]==(1/(4(Subscript[πϵ, o])))((Subscript[q, 1])/((\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), 3])-(Subscript[(OverVector[r]), 1])\[RightBracketingBar])^3))((Subscript[(OverVector[r]), 3])-(Subscript[(OverVector[r]), 1]))+(1/(4(Subscript[πϵ, o])))((Subscript[q, 2])/((\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), 3])-(Subscript[(OverVector[r]), 2])\[RightBracketingBar])^3))((Subscript[(OverVector[r]), 3])-(Subscript[(OverVector[r]), 2]))=(6.6 (Subscript[(OverVector[e]), x])+1.3 (Subscript[(OverVector[e]), y]))×(10^6)   (* (N/C) *)

{(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), 3]),(Subscript[q, 1]),(Subscript[(OverVector[r]), 1])]+(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), 3]),(Subscript[q, 2]),(Subscript[(OverVector[r]), 2])]}.{HF[(Subscript[(OverVector[e]), x])],HF[(Subscript[(OverVector[e]), y])]}/.SIUnits

Força que este campo exerce sobre uma carga q' na posição (Subscript[(OverVector[r]), q'])

(OverVector[F])[Q,(Subscript[(OverVector[r]), Q]),q,(Subscript[(OverVector[r]), q])]=Q (OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), Q]),q,(Subscript[(OverVector[r]), q])]

(OverVector[F])[q1_,x1_,q_,y_]:=q1 (OverVector[E])[x1,q,y]

({{(Subscript[(OverVector[r]), 3])-(Subscript[(OverVector[r]), 1])=(Subscript[(OverVector[r]), 3])=(9/50)(Subscript[(OverVector[e]), x])+(12/50)(Subscript[(OverVector[e]), y]), \[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), 3])-(Subscript[(OverVector[r]), 1])\[RightBracketingBar]=\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), 3])\[RightBracketingBar]=(3/10)}, {(Subscript[(OverVector[r]), 3])-(Subscript[(OverVector[r]), 2])=-(16/50)(Subscript[(OverVector[e]), x])+(12/50)(Subscript[(OverVector[e]), y]), \[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), 3])-(Subscript[(OverVector[r]), 1])\[RightBracketingBar]=(Sqrt[((((16/50)))^2)+((((12/50)))^2)])==(2/5)≡(4/10)}})

(OverVector[F])[(Subscript[q, 3]),(Subscript[(OverVector[r]), 3])]== (Subscript[q, 3])(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), 3])]==((Subscript[q, 3])/(4(Subscript[πϵ, o])))((((Subscript[q, 1]) )/((\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), 3])-(Subscript[(OverVector[r]), 1])\[RightBracketingBar])^3))((Subscript[(OverVector[r]), 3])-(Subscript[(OverVector[r]), 1]))+(((Subscript[q, 2]) )/((\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), 3])-(Subscript[(OverVector[r]), 2])\[RightBracketingBar])^3))((Subscript[(OverVector[r]), 3])-(Subscript[(OverVector[r]), 2])))

(OverVector[F])[(Subscript[q, 3]),(Subscript[(OverVector[r]), 3])]=9 ×(10^9)×10×(10^(-6)) (((50×(10^(-6))  )/((((3/10)))^3))((9/50)(Subscript[(OverVector[e]), x])+(12/50)(Subscript[(OverVector[e]), y]))+((-80×(10^(-6)))/((((4/10)))^3))(-(16/50)(Subscript[(OverVector[e]), x])+(12/50)(Subscript[(OverVector[e]), y])))=66  (Subscript[(OverVector[e]), x])+13 (Subscript[(OverVector[e]), y])           (* N *)	;

(OverVector[F])[(Subscript[q, 3]),(Subscript[(OverVector[r]), 3])]==(OverVector[F])[(Subscript[q, 3]),(Subscript[(OverVector[r]), 3]),(Subscript[q, 1]),(Subscript[(OverVector[r]), 1])]+(OverVector[F])[(Subscript[q, 3]),(Subscript[(OverVector[r]), 3]),(Subscript[q, 2]),(Subscript[(OverVector[r]), 2])]/.SIUnits

Embora as expressões para (OverVector[F]) sejam diferentes porque usamos referenciais distintos, a magnitude, direcção e sentido do vector é invariante: a rotação de um referencial para o outro transforma as componentes de (OverVector[F]) no primeiro referencial para as componentes de (OverVector[F]) no segundo referencial.

\[LeftBracketingBar](OverVector[F])[(Subscript[q, 3]),(Subscript[(OverVector[r]), 3])]\[RightBracketingBar]=(Sqrt[(50^2)+(45^2)])=(Sqrt[(66^2)+(13^2)])=5 (Sqrt[181])

G3[{Sphere[#,.01]&/@{(Subscript[(OverVector[r]), 1]),(Subscript[(OverVector[r]), 2]),(Subscript[(OverVector[r]), 3])},LI[{(Subscript[(OverVector[r]), 1]),(Subscript[(OverVector[r]), 2])}],LI[{(Subscript[(OverVector[r]), 2]),(Subscript[(OverVector[r]), 3])}],LI[{(Subscript[(OverVector[r]), 1]),(Subscript[(OverVector[r]), 3])}],  AS[arc[0,θ],.1{1,1,1}], {DX[.01],LI[{(Subscript[(OverVector[r]), 3]){1,0,0},(Subscript[(OverVector[r]), 3])}]}, 
{Vect[((.1#)/(Sqrt[#.#])),(Subscript[(OverVector[r]), 3]),.1],Lgd[{"(1/10)(OverVector[F])[(Subscript[q, 3]),(Subscript[(OverVector[r]), 3])]",(Subscript[(OverVector[r]), 3])+((.1#)/(Sqrt[#.#])),{-1,1}}]}&[(OverVector[F])[(Subscript[q, 3]),(Subscript[(OverVector[r]), 3]),(Subscript[q, 1]),(Subscript[(OverVector[r]), 1])]+(OverVector[F])[(Subscript[q, 3]),(Subscript[(OverVector[r]), 3]),(Subscript[q, 2]),(Subscript[(OverVector[r]), 2])]]/.SIUnits,Txt[(Subscript[tr, 12])]/@{ {"cos(θ)×30cm ",(((Subscript[(OverVector[r]), 3])[[1]])/(2Cos[θ/2]))(Subscript[(OverVector[e]), x]),{-.1,-1}},{"sin(θ)×30cm ",(((Subscript[(OverVector[r]), 3])[[1]])/(Cos[θ/2])){Cos[θ/2],Sin[θ/2],0},{-.5,-1},{0,1}},{"θ",.08{Cos[θ/2],Sin[θ/2],0}}, {"(Subscript[q, 1])=50μC",(Subscript[(OverVector[r]), 1]),{0,2}},{"(Subscript[q, 2])=-80μC",(Subscript[(OverVector[r]), 2]),{0,2}},{"(Subscript[q, 3])=10μC",(Subscript[(OverVector[r]), 3]),{0,-2}},{"50cm",.5(Subscript[(OverVector[r]), 2]),{0,1},(Subscript[(OverVector[r]), 2])[[{1,2}]]},{"40cm",.5(Subscript[(OverVector[r]), 2])+.5(Subscript[(OverVector[r]), 3]),{0,-1},-((Subscript[(OverVector[r]), 3])-(Subscript[(OverVector[r]), 2]))[[{1,2}]]},{"30cm",.5(Subscript[(OverVector[r]), 3]),{0,-1},(Subscript[(OverVector[r]), 3])[[{1,2}]]}}},PlotRange->{{-.05,.6},{-.05,.3},{-.01,.01}},BoxRatios->{1,.32/.65,.02/.65},ViewPoint->{0,0,2.3},Boxed->False,ImageSize->{557.,Automatic}]

Apêndice-Campo eléctrico de várias cargas pontuais

O princípio de superposição em acção: use os cursores para mudar as cargas e suas posições.

(OverVector[E])[(OverVector[r])]==(1/(4(Subscript[πϵ, o])))(∑_q)(q/((\[LeftBracketingBar](OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), q])\[RightBracketingBar])^3))((OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), q]))

(OverVector[E])[x_,q_,y_]:=(q/(4π (Subscript[ϵ, o])))(((x-y)/((((x-y).(x-y)))^(3/2))))

({{(Subscript[(OverVector[e]), 1])={1,0}, (Subscript[(OverVector[e]), 2])={0,1}}});
({{(Subscript[q, 1])=50.×(10^(-6))            (* Coulomb *), (Subscript[q, 2])=-80.×(10^(-6))        (* Coulomb *), (Subscript[q, 3])=10.×(10^(-6))            (* Coulomb *)}});
({{(Subscript[(OverVector[r]), Q1])=-(Subscript[(OverVector[e]), 1])                                                           (* Metro *)}, {(Subscript[(OverVector[r]), Q2])= (Subscript[(OverVector[e]), 1])                                                              (* Metro *)}, {(Subscript[(OverVector[r]), Q3])[θ_]  =(Cos[θ](Subscript[(OverVector[e]), 1])+Sin[θ](Subscript[(OverVector[e]), 2]))         (* Metro *)}});
Manipulate[G2[{Arrowheads[.02],{Dashing[{0.01,0.01}],(r#&/@arc2D[0,2π,50][[1]])//Line} ,
{{Opacity[h1,bl],
vect[((OverVector[E])[r#,q1 (10^(-10)),d1(Subscript[(OverVector[r]), Q1])]),r#]&/@(arc2D[0,2π,m][[1]]/.Point[z_]:>z)}, bl,Disk[d1(Subscript[(OverVector[r]), Q1]),.02 s],Txt[(Subscript[tr, 12])][{"(Subscript[q, 1])",d1(Subscript[(OverVector[r]), Q1]),{0,-2}}]},{{Opacity[h2,rd],
vect[((OverVector[E])[r#, q2 (10^(-10)),d2(Subscript[(OverVector[r]), Q2])]),r#]&/@(arc2D[0,2π,m][[1]]/.Point[z_]:>z)} ,rd,Disk[d2 (Subscript[(OverVector[r]), Q2]),.02 s],Txt[(Subscript[tr, 12])][{"(Subscript[q, 2])",d2 (Subscript[(OverVector[r]), Q2]),{0,-2}}]},
{{Opacity[h3,gr],
vect[((OverVector[E])[r#, q3 (10^(-10)),d3(Subscript[(OverVector[r]), Q3])[θ]]),r#]&/@(arc2D[0,2π,m][[1]]/.Point[z_]:>z)} ,gr,Disk[d3 (Subscript[(OverVector[r]), Q3])[θ],.02 s],Txt[(Subscript[tr, 12])][{"(Subscript[q, 3])",d3 (Subscript[(OverVector[r]), Q3])[θ],{0,-2}}]},
{Opacity[h,GrayLevel[1-h]],AbsoluteThickness[#1]&[1.2] ,Arrowheads[.02],vect[( (OverVector[E])[r#,q1 (10^(-10)),d1(Subscript[(OverVector[r]), Q1])]+ (OverVector[E])[r#,q2 (10^(-10)),d2 (Subscript[(OverVector[r]), Q2])]+ (OverVector[E])[r#,q3 (10^(-10)),d3 (Subscript[(OverVector[r]), Q3])[θ]]),r#]&/@(arc2D[0,2π,m][[1]]/.Point[z_]:>z) }  
},PlotRange->s{{-1,1},{-1,1}},AspectRatio->1,ImageSize->{500.,Automatic}]/.(Subscript[ϵ, o])->8.854187817×(10^(-12))/.vect->vec2,{{q1,(Subscript[q, 1]) (10^4),"(Subscript[q, 1])"},-5,5},{{d1,1,"(Subscript[x, 1])"},-5,5},{{h1,.3,"(Subscript[transp, 1])"},0,1},{{q2,(Subscript[q, 2])(10^4),"(Subscript[q, 2])"},-8,8},{{d2,1,"(Subscript[x, 2])"},-5,5},{{h2,.3,"(Subscript[transp, 2])"},0,1},{{q3,1.4,"(Subscript[q, 3])"},-5,5},{{d3,3.,"(Subscript[r, 3])"},-5,5},{{θ,2.23053,"(Subscript[θ, 3])"},0,2π},{{h3,.5,"(Subscript[transp, 3])"},0,1},{{r,2,"(Subscript[r, circ])"},0,5},{{h,1,"transp"},0,1},{{m,50,"res"},4,100},{{s,3,"mag"},.1,5},SaveDefinitions->True]

Problema 1.4

A figura mostra duas carga pontuais, cada uma com 10 n C, separadas de 8 m. Calcular o campo eléctrico nos pontos A, B e C.

({{(Subscript[(OverVector[e]), x])={1,0,0}, (Subscript[(OverVector[e]), y])={0,1,0}, (Subscript[(OverVector[e]), z])={0,0,1}, (OverVector[O])={0,0,0}}});
(Subscript[(OverVector[r]), 1])=(OverVector[O])  	       (* m *)	;
(Subscript[(OverVector[r]), 2])=8(Subscript[(OverVector[e]), x]) 	(* m *)	;
(Subscript[(OverVector[r]), A])=4(Subscript[(OverVector[e]), x]) 	                (*m*)	;
(Subscript[(OverVector[r]), B])=4(Subscript[(OverVector[e]), x])+4(Subscript[(OverVector[e]), y])	(*m*)                       ;
(Subscript[(OverVector[r]), C])=4(Subscript[(OverVector[e]), x])-4(Subscript[(OverVector[e]), y])	(*m*)	;
G3[{Sphere[#,.1]&/@{(Subscript[(OverVector[r]), 1]),(Subscript[(OverVector[r]), 2])},LI[{{-1,0,0},{9,0,0}}],LI[{{0,-5,0},{0,5,0}}],{DX[.01],LI[{{0,4,0},{4,4,0},{4,-4,0},{0,-4,0}}],LI[{(OverVector[O]),(Subscript[(OverVector[r]), B]),(Subscript[(OverVector[r]), 2]),(Subscript[(OverVector[r]), C]),(OverVector[O])}]},
Legend[{"+4",4(Subscript[(OverVector[e]), x]),{0,2}},{"+8",(Subscript[(OverVector[r]), 2]),{0,2}},{"+4",4(Subscript[(OverVector[e]), y]),{1,0}},{"-4",-4(Subscript[(OverVector[e]), y]),{1,0}},{"0",(OverVector[O]),{3,2}},{"(Subscript[q, 1])=10nC",(Subscript[(OverVector[r]), 1]),-{-1,1}},{"(Subscript[q, 2])=10nC",(Subscript[(OverVector[r]), 2]),-{1,1}},{"(Subscript[(OverVector[e]), x])",(Subscript[(OverVector[e]), x]),{1,2}},{"(Subscript[(OverVector[e]), y])",(Subscript[(OverVector[e]), y]),{1,-2},{0,1}}],
vect[#,(OverVector[O]),1.5]&/@{(Subscript[(OverVector[e]), x]),(Subscript[(OverVector[e]), y])},PointSize[.01],Point/@{(Subscript[(OverVector[r]), A]),(Subscript[(OverVector[r]), B]),(Subscript[(OverVector[r]), C])},Legend@@({#,(Subscript[(OverVector[r]), #]),{-1.5,-.8}}&/@{A,B,C}),bl,{TH[2],vect[((Subscript[(OverVector[r]), B])-(Subscript[(OverVector[r]), 2])).3,(Subscript[(OverVector[r]), B]),2],vect[((Subscript[(OverVector[r]), B])-(Subscript[(OverVector[r]), 1])).3,(Subscript[(OverVector[r]), B]),2],rd,vect[(2(Subscript[(OverVector[r]), B])-(Subscript[(OverVector[r]), 1])-(Subscript[(OverVector[r]), 2])).3,(Subscript[(OverVector[r]), B]),2]},{DX[.01],LI[{((Subscript[(OverVector[r]), B])-(Subscript[(OverVector[r]), 2])).3+(Subscript[(OverVector[r]), B]),((Subscript[(OverVector[r]), B])-(Subscript[(OverVector[r]), 2])).3+(Subscript[(OverVector[r]), B])+((Subscript[(OverVector[r]), B])-(Subscript[(OverVector[r]), 1])).3,(Subscript[(OverVector[r]), B])+((Subscript[(OverVector[r]), B])-(Subscript[(OverVector[r]), 1])).3}]},Legend[{"(Subscript[(OverVector[E]), 1])((Subscript[(OverVector[r]), B]))",(Subscript[(OverVector[r]), B])+((Subscript[(OverVector[r]), B])-(Subscript[(OverVector[r]), 1])).3,{-1,1}},{"(Subscript[(OverVector[E]), 2])((Subscript[(OverVector[r]), B]))",(Subscript[(OverVector[r]), B])+((Subscript[(OverVector[r]), B])-(Subscript[(OverVector[r]), 2])).3,{1,1}},{"(OverVector[E])((Subscript[(OverVector[r]), B]))",(Subscript[(OverVector[r]), B])+(2(Subscript[(OverVector[r]), B])-(Subscript[(OverVector[r]), 1])-(Subscript[(OverVector[r]), 2])).3,{-1,-1}}]
},Boxed->False,PlotRange->{{-2,10},{-5,7},{-.1,.1}},BoxRatios->{12,12,.1},ViewPoint->{0,0,2.3},ImageSize->{400.,Automatic}]/.vect->Vect

Dados

Cargas

(Subscript[q, 1])=10×(10^(-9))           (* C *)       ;                    (Subscript[q, 2])=10×(10^(-9))          (* C *);

Posição das cargas

(Subscript[(OverVector[r]), 1])=(OverVector[O])  	       (* m *)	;                    (Subscript[(OverVector[r]), 2])=8(Subscript[(OverVector[e]), x]) 	(* m *)	;

Pontos

({{(Subscript[(OverVector[r]), A])=4(Subscript[(OverVector[e]), x]) 	             (*m*);, \[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), A])-(Subscript[(OverVector[r]), 1])\[RightBracketingBar]==4, \[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), A])-(Subscript[(OverVector[r]), 2])\[RightBracketingBar]==4}, {(Subscript[(OverVector[r]), B])=4(Subscript[(OverVector[e]), x])+4(Subscript[(OverVector[e]), y])	(*m*);, \[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), B])-(Subscript[(OverVector[r]), 1])\[RightBracketingBar]==4(Sqrt[2]), \[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), B])-(Subscript[(OverVector[r]), 2])\[RightBracketingBar]==4(Sqrt[2])}, {(Subscript[(OverVector[r]), C])=4(Subscript[(OverVector[e]), x])-4(Subscript[(OverVector[e]), y])	(*m*);, \[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), C])-(Subscript[(OverVector[r]), 1])\[RightBracketingBar]==4(Sqrt[2]), \[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), C])-(Subscript[(OverVector[r]), 2])\[RightBracketingBar]==4(Sqrt[2])}});

Campos

(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), A])]=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((Subscript[q, 1])/((\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), A])-(Subscript[(OverVector[r]), 1])\[RightBracketingBar])^3))((Subscript[(OverVector[r]), A])-(Subscript[(OverVector[r]), 1]))+(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((Subscript[q, 2])/((\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), A])-(Subscript[(OverVector[r]), 2])\[RightBracketingBar])^3))((Subscript[(OverVector[r]), A])-(Subscript[(OverVector[r]), 2]))=0 	(* (N/C) *)	;

(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), B])]=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((Subscript[q, 1])/((\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), B])-(Subscript[(OverVector[r]), 1])\[RightBracketingBar])^3))((Subscript[(OverVector[r]), B])-(Subscript[(OverVector[r]), 1]))+(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((Subscript[q, 2])/((\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), B])-(Subscript[(OverVector[r]), 2])\[RightBracketingBar])^3))((Subscript[(OverVector[r]), B])-(Subscript[(OverVector[r]), 2]))=9×(10^9)×((10×(10^(-9)))/(((4(Sqrt[2])))^3))(4(Subscript[(OverVector[e]), x])+4(Subscript[(OverVector[e]), y])-4(Subscript[(OverVector[e]), x])+4(Subscript[(OverVector[e]), y]))=(45/(8 (Sqrt[2]))) (Subscript[(OverVector[e]), y])   (* (N/C) *)

(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), C])]=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((Subscript[q, 1])/((\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), C])-(Subscript[(OverVector[r]), 1])\[RightBracketingBar])^3))((Subscript[(OverVector[r]), C])-(Subscript[(OverVector[r]), 1]))+(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((Subscript[q, 2])/((\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), C])-(Subscript[(OverVector[r]), 2])\[RightBracketingBar])^3))((Subscript[(OverVector[r]), C])-(Subscript[(OverVector[r]), 2]))= 9×(10^9)×((10×(10^(-9)))/(((4(Sqrt[2])))^3))(4(Subscript[(OverVector[e]), x])-4(Subscript[(OverVector[e]), y])-4(Subscript[(OverVector[e]), x])-4(Subscript[(OverVector[e]), y]))=-(45/(8 (Sqrt[2]))) (Subscript[(OverVector[e]), y])    (* (N/C) *)

Problema 1.5

Uma vareta de ℓ=2 m de comprimento está uniformemente carregada com uma carga Q=16×(10^(-10)) C.  Queremos calcular o campo  eléctrico (OverVector[E])  num ponto P  a uma distância d=1 m  do seu centro.

Calcule o campo supondo que toda a carga Q se encontra no centro da vareta.

Calcule o campo supondo que tem duas cargas Q/2 colocadas  no centro das duas metades da vareta .

({{(Subscript[(OverVector[e]), x])={1,0,0}, (Subscript[(OverVector[e]), y])={0,1,0}, (Subscript[(OverVector[e]), z])={0,0,1}, (OverVector[O])={0,0,0}}});
(Subscript[(OverVector[r]), 1])=-(1/2)(Subscript[(OverVector[e]), x]) 	(* m *)	;                                    (Subscript[(OverVector[r]), 2])=(1/2)(Subscript[(OverVector[e]), x])	(* m *)	;                     (Subscript[(OverVector[r]), P])=(Subscript[(OverVector[e]), y])     	(* m *)	;
Manipulate[G3[{Cylinder[{#1,#2},.02]&[-(Subscript[(OverVector[e]), x]),(Subscript[(OverVector[e]), x])],vect[#,(OverVector[O])+.02(Subscript[(OverVector[e]), z]),.3]&/@{(Subscript[(OverVector[e]), x]),(Subscript[(OverVector[e]), y])},PointSize[.01],Point/@{(Subscript[(OverVector[e]), y])}, Lgd[{"P",(Subscript[(OverVector[e]), y]),{1,-1}},{" (Subscript[(OverVector[e]), x])",.5(Subscript[(OverVector[e]), x]),{1,2}},{"(Subscript[(OverVector[e]), y])",(Subscript[(OverVector[e]), y]).5,{1,-2},{0,1}}], vect[(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),5 (10^(-11)),λ(Subscript[(OverVector[e]), x])],(Subscript[(OverVector[r]), P]),.3], vect[(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),5 (10^(-11)),-λ(Subscript[(OverVector[e]), x])],(Subscript[(OverVector[r]), P]),.3],{rd,TH[2],vect[((OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),5 (10^(-11)),λ(Subscript[(OverVector[e]), x])]+(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),5 (10^(-11)),(-(λ+(10^(-8)))(Subscript[(OverVector[e]), x]))]),(Subscript[(OverVector[r]), P]),.4]},
 Lgd[{(Overscript[(Overscript[Row[{Spacer[1+λ 180//Abs]}], ⏞]), "x"])//Release,(λ/2)(Subscript[(OverVector[e]), x]),{0,-1.5}},{(Underscript[(Underscript[Row[{Spacer[10]}], ⏟]), "\[DifferentialD]x"])//Release,λ(Subscript[(OverVector[e]), x]),{0,1}},{(Overscript[(Overscript[Row[{Spacer[1+λ 180//Abs]}], ⏞]), -"x"])//Release,-(λ/2)(Subscript[(OverVector[e]), x]),{0,-1.5}},{(Underscript[(Underscript[Row[{Spacer[10]}], ⏟]), "\[DifferentialD]x"])//Release,-λ(Subscript[(OverVector[e]), x]),{0,1}}],
DX[.01],LI[{(Subscript[(OverVector[r]), P])+(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),5 (10^(-11)),λ(Subscript[(OverVector[e]), x])],(Subscript[(OverVector[r]), P])+(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),5 (10^(-11)),λ(Subscript[(OverVector[e]), x])]+(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),5 (10^(-11)),-λ(Subscript[(OverVector[e]), x])],(Subscript[(OverVector[r]), P])+(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),5 (10^(-11)),-λ(Subscript[(OverVector[e]), x])]}],LI[{λ (Subscript[(OverVector[e]), x]),(Subscript[(OverVector[r]), P]),(OverVector[O])}],Cylinder[{(λ-.03)(Subscript[(OverVector[e]), x]),(λ+.03)(Subscript[(OverVector[e]), x])},.024],LI[{-λ (Subscript[(OverVector[e]), x]),(Subscript[(OverVector[r]), P]),(OverVector[O])}], Cylinder[{(-λ-.03)(Subscript[(OverVector[e]), x]),(-λ+.03)(Subscript[(OverVector[e]), x])},.024],
Lgd[{"d",.6(Subscript[(OverVector[e]), y]),{-2,0}},{"L/2",(Subscript[(OverVector[e]), x]),{0,2}},{"0",(OverVector[O]),{0,2}},{"-L/2",-(Subscript[(OverVector[e]), x]),{0,2}},{"\[DifferentialD](OverVector[E])((Subscript[(OverVector[r]), P]), \[DifferentialD]q, -x (Subscript[(OverVector[e]), x]))",(Subscript[(OverVector[r]), P])+(#-.02ℤ.((#)/(Sqrt[#.#])))&@(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),5 (10^(-11)),-λ(Subscript[(OverVector[e]), x])],{-1,0}},{"\[DifferentialD](OverVector[E])((Subscript[(OverVector[r]), P]), \[DifferentialD]q, x (Subscript[(OverVector[e]), x]))",(Subscript[(OverVector[r]), P])+(#+.02ℤ.((#)/(Sqrt[#.#])))&@(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),5 (10^(-11)),λ(Subscript[(OverVector[e]), x])],{1,0}},{"\[DifferentialD](OverVector[E])((Subscript[(OverVector[r]), P]), x)",(Subscript[(OverVector[r]), P])+(#)&@((OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),5 (10^(-11)),λ(Subscript[(OverVector[e]), x])]+(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),5 (10^(-11)),-λ(Subscript[(OverVector[e]), x])]),{0,-1}},
{"\[DifferentialD]q=ρ(x)\[DifferentialD]x",λ (Subscript[(OverVector[e]), x]),{0,5}},{"\[DifferentialD]q=ρ(x)\[DifferentialD]x",-λ (Subscript[(OverVector[e]), x]),{0,5}}]
},Boxed->False,PlotRange->{{-1.2,1.2},{-.5,2},{-.2,.2}},BoxRatios->{2.4,2.7,.4},ViewPoint->{0,0,17},ImageSize->{457.,Automatic}]/.SIUnits/.vect->Vect,{{λ,.7,"x"},(10^(-17)),1},SaveDefinitions->True]

Dados

Sistema de referência

({{(Subscript[(OverVector[e]), x])={1,0,0}, (Subscript[(OverVector[e]), y])={0,1,0}, (Subscript[(OverVector[e]), z])={0,0,1}, (OverVector[O])={0,0,0}}});

Caso (a)

Cargas e Posições

(Subscript[q, 1])=16 ×(10^(-10))	(*C*)	;

(Subscript[(OverVector[r]), 1])=(OverVector[O])                    	(* m *)	;

(Subscript[(OverVector[r]), P])=(Subscript[(OverVector[e]), y])     	            (* m *)	;

Campo em P

(OverVector[E])[(OverVector[r]),q,(Subscript[(OverVector[r]), q])]==(1/(4(Subscript[πϵ, o])))(q/((\[LeftBracketingBar](OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), q])\[RightBracketingBar])^3))((OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), q]))	- note-	Campo  eléctrico gerado por uma carga q.	;

(OverVector[E])[x_,q_,y_]:=(q/(4π (Subscript[ϵ, o])))((#)/(((#.#))^(3/2)))&@(x-y)

(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P])]==(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),(Subscript[q, 1]),(Subscript[(OverVector[r]), 1])]=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((Subscript[q, 1])/((\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), P])\[RightBracketingBar])^3))(Subscript[(OverVector[r]), P])=9×(10^9)×((16×(10^(-10)))/(1^3))(Subscript[(OverVector[e]), y])=(72/5) (Subscript[(OverVector[e]), y])	(* (N/C) *);

Caso (b)

Cargas e Posições

(Subscript[q, 1])=q=8×(10^(-10))	(*C*)	;                      (Subscript[q, 2])=q=8×(10^(-10))	(*C*);

({{(Subscript[(OverVector[r]), 1])=-(1/2)(Subscript[(OverVector[e]), x]) 	(* m *);, \[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), P])-(Subscript[(OverVector[r]), 1])\[RightBracketingBar]==\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[e]), y])+(1/2)(Subscript[(OverVector[e]), x])\[RightBracketingBar]=(Sqrt[((((1/2)))^2)+1])=((Sqrt[5])/2)    }, {(Subscript[(OverVector[r]), 2])=(1/2)(Subscript[(OverVector[e]), x])    	(* m *);, \[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), P])-(Subscript[(OverVector[r]), 2])\[RightBracketingBar]=\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[e]), y])-(1/2)(Subscript[(OverVector[e]), x])\[RightBracketingBar]=(Sqrt[(((-(1/2)))^2)+1])=((Sqrt[5])/2)}, {(Subscript[(OverVector[r]), P])=(Subscript[(OverVector[e]), y])        	(* m *);,  }})

Campo em P

(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P])]==(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),(Subscript[q, 1]),(Subscript[(OverVector[r]), 1])]+(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),(Subscript[q, 2]),(Subscript[(OverVector[r]), 2])]=9×(10^9)×((8×(10^(-10)))/(((((Sqrt[5])/2)))^3))(((Subscript[(OverVector[e]), y])+(1/2)(Subscript[(OverVector[e]), x]))+((Subscript[(OverVector[e]), y])-(1/2)(Subscript[(OverVector[e]), x]))) =(576/(5^(5/2))) (Subscript[(OverVector[e]), y])	(* (N/C) *);

Apêndice-Distribuição uniforme de carga

Se a carga estiver uniformemente distribuida sobre a barra com densidade de carga λ=(Q/L) constante, então o campo em P pode ser calculado como o somatório dos campos gerados pelas cargas dq=λdx de segmentos  de comprimento dx localizados em x e -x, à mesma distância de P.

(Subscript[(OverVector[r]), x])=x (Subscript[(OverVector[e]), x])                       ;                   (Subscript[(OverVector[r]), P])-(Subscript[(OverVector[r]), x])=-x (Subscript[(OverVector[e]), x])+d (Subscript[(OverVector[e]), y])          ;            \[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), P])-(Subscript[(OverVector[r]), x])\[RightBracketingBar]=(Sqrt[(x^2)+(d^2)])

(Subscript[(OverVector[r]), -x])=-x (Subscript[(OverVector[e]), x])                 ;                   (Subscript[(OverVector[r]), P])-(Subscript[(OverVector[r]), -x])=x (Subscript[(OverVector[e]), x])+d (Subscript[(OverVector[e]), y])          ;            \[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), P])-(Subscript[(OverVector[r]), -x])\[RightBracketingBar]=(Sqrt[(x^2)+(d^2)])

Aplicando a Lei de Coulomb a estas duas cargas simétricamente colocadas obtemos uma expressão que depende apenas de x variável, e tem só a componente segundo (Subscript[(OverVector[e]), y]).

\[DifferentialD](OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),x]=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((λ\[DifferentialD]x)/((x^2)+(d^2)))(((-x (Subscript[(OverVector[e]), x])+d(Subscript[(OverVector[e]), y]))/(Sqrt[(x^2)+(d^2)]))+((x (Subscript[(OverVector[e]), x])+d(Subscript[(OverVector[e]), y]))/(Sqrt[(x^2)+(d^2)])))=(1/(2π (Subscript[ϵ, o])))((λ  d)/((((x^2)+(d^2)))^(3/2))) \[DifferentialD]x (Subscript[(OverVector[e]), y])

A soma em x de todas estas contribuições d(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),x] no limite em que dx->0 é equivalente a fazer o integral entre x=0 e x=L/2.

(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P])]==(∫_0^(L/2))(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((2 λ d  )/((((x^2)+ (d^2)))^(3/2)))\[DifferentialD]x(Subscript[(OverVector[e]), y])=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((Q/d)/( (Sqrt[((((L/2)))^2)+ (d^2)]))) (Subscript[(OverVector[e]), y])=((36 (Sqrt[2]))/5)(Subscript[(OverVector[e]), y])   (* (N/C) *)

Assuming[L>0&&d>0,(∫_0^(L/2))(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((2d Q/L)/((((x^2)+ (d^2)))^(3/2)))\[DifferentialD]x]

∫(1/((((x^2)+ 1))^(3/2)))\[DifferentialD]x

Comparando com as aproximações (a) e (b) verificamos que |(Subscript[(OverVector[E]), (a)])[(Subscript[(OverVector[r]), P])]|≃14.4 (N/C), |(Subscript[(OverVector[E]), (b)])[(Subscript[(OverVector[r]), P])]|≃10.3 (N/C) enquanto que nesta distribuição uniforme de carga |(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P])]|≃10.18 (N/C).