Electromagnetismo e Óptica (LEIC)
1ºSem. 2007/2008
http://fisica.ist.utl.pt/~leic_f2

Definições iniciais

Definições Globais

SetDirectory[DirectoryName["WindowTitle"/.NotebookInformation[InputNotebook[]]]];

If[Cases[Contexts[],"Notation`"]=={},Get["Notation`"],NotebookClose[Notebooks[]//Cases[#,z_NotebookObject/;StringMatchQ[ToString[z],"*Notation*"]][[1]]&]]

SetOptions[SelectedNotebook[],WindowSize->{1400,900}];

Off[General::"spell1",General::"obspkg",Graphics`Graphics3D`ListSurfacePlot3D::"shdw",Graphics`Shapes`RotateShape::"shdw",General::"newpkg",Symbolize::"bsymbexs"];

({{Symbolize[(Subscript[m, _])], Symbolize[(Subscript[(OverVector[u]), _]) ], Symbolize[(Subscript[(OverVector[v]), _])], Symbolize[(_)'], Symbolize[(OverVector[R])], Symbolize[(OverVector[r])], Symbolize[(OverVector[v])], Symbolize[(OverVector[V])], Symbolize[(Subscript[(OverVector[𝕖]), _])]}, {Symbolize[(Subscript[ϵ, o])], Symbolize[(Subscript[μ, o])], Symbolize[(OverVector[E])], Symbolize[(OverVector[F])], \[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder]}});

Definições Gráficas

As minhas definições gráficas:

<<Graphics`Shapes`

SetOptions[Manipulator,{ImageSize->Tiny,AppearanceElements->{ "InputField"}}];

G2=Graphics;
G3=Graphics3D;
TS=TranslateShape;
RS=RotateShape;
LI=Line;
DX=Dashing[{#1,#1,#1}]&;
rd=Red;bl=Blue;gr=Green;
Clear[AS];
AS[sh_,sc_]:=AffineShape[sh,sc]/.Point[z_]:>Point[z sc]

Repõe a definição de Sphere do sistema

Unprotect[Graphics`Shapes`Sphere];Remove[Graphics`Shapes`Sphere]
Unprotect[Sphere];Sphere=System`Sphere;

Definição de seta 2D usando o vector e o ponto base como argumentos.

vec2[x_,y_]:=Arrow[{y,y+x}]

Redefinição dos cones e bases dos vectores 3D de 10 para 6 arestas.

bs[s_]:=TranslateShape[AffineShape[Cone[0.05,0,6],{s,s,s}],{0,0,1-0.2 s}]
cn[s_]:=TranslateShape[AffineShape[Cone[0.05,0.1,6],{s,s,s}],{0,0,1-0.1 s}]

Protótipo de vector unitário (Subscript[(OverVector[e]), y])

(Subscript[e, y])[s_:.5]:={Line[{{0,0,0},{0,1-s .2,0}}],RotateShape[cn[s],0,(π/2),0],RotateShape[bs[s],0,(π/2),0]}

Definição de vector 3D

V3D[x_,s_:0.5]:=Block[{M=Ω[x]},AffineShape[(Subscript[e, y])[s]/.z_Polygon:>Map[M.#1&,z,{2}]/.z_Line:>Map[M.#1&,z,{2}]/.z_Point:>Map[M.#1&,z,{1}],abs[x] {1,1,1}]]
Vect[v_,x_,s_:0.5]:=TranslateShape[V3D[v,(s/(abs[v]))],x]

NL={z_Polygon:>{EdgeForm[],z}};

Definições de versores ud[(OverVector[v])] dum vector (OverVector[v])

TH=AbsoluteThickness[#1]&;
abs[x_]:=FullSimplify[(Sqrt[x.x])]
ud[x_]:=FullSimplify[(x/(Sqrt[x.x]))]

Construção de rotação (Subscript[(OverVector[e]), y])->(OverVector[u]). Designando por u=|(OverVector[u])| e (OverHat[𝕦])=(1/u)(OverVector[u]) o vector de cosenos directores de (OverVector[u]), precisamos de construir dois vectores auxiliares (OverHat[𝕩]) e (OverHat[𝕫]) que formem um triedro ortonormado com (OverHat[𝕦]), de forma que a matriz Ω=((Subscript[(OverVector[e]), j]^′).(Subscript[(OverVector[e]), i])) defina a rotação pretendida. Assim (OverHat[𝕫])=(OverHat[𝕦])×(Subscript[𝕖, y]) e (OverHat[𝕩])=(OverHat[𝕦])×(OverHat[𝕫]). Usando (Subscript[(OverVector[e]), 1]^′)=(OverHat[𝕩]),(Subscript[(OverVector[e]), 2]^′)=(OverHat[𝕦]),(Subscript[(OverVector[e]), 3]^′)=(OverHat[𝕧]), obtemos Ω.

Ω[{0,y_,0}]:=Sign[y]IdentityMatrix[3];
Ω[u_]:=Block[{𝕦,𝕫,𝕩},{ux,uy,uz}={u[[1]],u[[2]],u[[3]]};𝕦={ux,uy,uz};𝕫={-uz,0,ux};𝕩={ux uy,-(ux^2)-(uz^2),uy uz};𝕊={𝕩,𝕦,𝕫};𝕄=Transpose[(((#1)/(abs[#1]))&)/@𝕊]]

Rotações base

𝕏=(({{1, 0, 0}, {0, 0, -1}, {0, 1, 0}}));                    𝕐=(({{0, 0, -1}, {0, 1, 0}, {1, 0, 0}}));                     ℤ=(({{0, -1, 0}, {1, 0, 0}, {0, 0, 1}}));

Sistema de referência {O,(Subscript[(OverVector[e]), x]),(Subscript[(OverVector[e]), y]),(Subscript[(OverVector[e]), z])}

({{(Subscript[(OverVector[e]), x])={1,0,0};,  , (Subscript[(OverVector[e]), y])={0,1,0};,  , (Subscript[(OverVector[e]), z])={0,0,1};,  , (OverVector[O])={0,0,0}}});

Definições de arcos 2D e 3D

Clear[arc,arc2D]
arc2D[θ1_:0,θ2_:2 π,n_:100]:=Line[Append[Table[{Cos[q],Sin[q]},{q,θ1,θ1+θ2,((θ2)/n)}],{Cos[θ1+θ2],Sin[θ1+θ2]}]]
arc[θ1_:0,θ2_:2 π]:=arc2D[θ1,θ2]/.{x_,y_}:>{x,y,0}

Definições auxiliares; ring, dring, fr, disk,sphere, cyl

ring=ParametricPlot3D[(({{Cos[φ], Sin[φ], 0}, {-Sin[φ], Cos[φ], 0}, {0, 0, 1}})).{2+.05Cos[θ],0,.05Sin[θ]},{θ,0,2π},{φ,0,2π},PlotRange->1.1{{-2,2},{-2,2},{-2,4}},BoxRatios->{1,1,6/4},Mesh->False,PlotPoints->60,Boxed->False,Axes->None,ImageSize->500];
dring[ϕ_]:=ParametricPlot3D[(({{Cos[φ], -Sin[φ], 0}, {Sin[φ], Cos[φ], 0}, {0, 0, 1}})).{2+.05Cos[θ],0,.05Sin[θ]},{θ,0,2π},{φ,ϕ-π/50,ϕ+π/50},PlotRange->1.1{{-2,2},{-2,2},{-2,4}},BoxRatios->{1,1,6/4},Mesh->True,PlotPoints->5,Boxed->False,Axes->None,ImageSize->500];

fr[d_]:={vect[#,d(Subscript[(OverVector[e]), z]),.75]&/@{(Subscript[(OverVector[e]), x]),(Subscript[(OverVector[e]), y]),(Subscript[(OverVector[e]), z])},Lgd[{#,{0,0,d}+(#-.15(({{0, 1, 1}, {1, 0, 1}, {0, 0, 1}})).ud[#])&[ToExpression[#]]}]&/@{"(Subscript[(OverVector[e]), x])","(Subscript[(OverVector[e]), y])","(Subscript[(OverVector[e]), z])"}}/.vect->Vect;
disk=Graphics3D[Cylinder[{(OverVector[O]),-.1(Subscript[(OverVector[e]), z])},2],PlotRange->1.1{{-2,2},{-2,2},{-1,4}},BoxRatios->{1,1,5/4},Boxed->False,Axes->None,ImageSize->500];
sphere=Graphics3D[{{Opacity[.5],Sphere[(OverVector[O]),2]},Lgd[{"O",(OverVector[O]),{1,0}}]},Boxed->False,ImageSize->500];
frame=Graphics3D[{vect[2#,(OverVector[O]),1]&/@{(Subscript[(OverVector[e]), x]),(Subscript[(OverVector[e]), y]),(Subscript[(OverVector[e]), z])},Lgd[{#,(OverVector[O])+(2#-.2(({{0, 1, 1}, {1, 0, 1}, {1, 1, 0}})).ud[#])&[ToExpression[#]]}]&/@{"(Subscript[(OverVector[e]), x])","(Subscript[(OverVector[e]), y])","(Subscript[(OverVector[e]), z])"}}/.vect->Vect];
cyl[x_]:=Graphics3D[{Opacity[.6],Cylinder[{-.015(Subscript[(OverVector[e]), z]),.015(Subscript[(OverVector[e]), z])},(Sqrt[3.9-(x^2)])]}]
fig=Show@{ring,G3[{Lgd[{"λ=(Q/(2  πR))",2.5(Subscript[(OverVector[e]), y])}],{DX[.01],Line[{(OverVector[O]),-2(Subscript[(OverVector[e]), y])}],Lgd[{"R",-(1.5#+.12ℤ.#)&@(Subscript[(OverVector[e]), y])}]}}]};

Definições Texto

(Subscript[tr, z_]):=Sequence@@{FontFamily->"Times New Roman",FontWeight->Plain,FontSlant->Plain,FontSize->z}
Txt[sty__]:=((Text[style[#1,sty],##2]&)@@##1&)/.style:>Style
txt[z_,x_,off_:{0,0},fntf_:"Times New Roman"]:=Text[StyleForm[z,FontSize->12,FontFamily->fntf],x,off]

author={GrayLevel[.83],txt["AJRS-"<>(StringJoin@@ToString/@{
{Jan,Fev,Mar,Abr,Mai,Jun,Jul,Ago,Set,Out,Nov,Dez}[[#[[2]]]]," ",#[[3]],", ",#[[1]]}&@Date[]),{0,0},{0,0},"Times"]};
cprt=(Epilog->Inset[Graphics[author],Scaled[{.98,.5}],Automatic,Automatic,{0,1}]);
SetOptions[Graphics3D,cprt];

Lgd[z__List]:=(Txt[(Subscript[tr, 12])]/@{z})

Problema 2.1

Um anel de raio R tem uma carga eléctrica Q distribuída uniformemente. Calcular o campo eléctrico (OverVector[E]) num ponto P que está a uma distância x do centro do anel e no eixo desse anel.

Show[{ring,G3[{Lgd[{"λ=(Q/(2  πR))",2.5(Subscript[(OverVector[e]), y])}],{DX[.01],Line[{(OverVector[O]),-2(Subscript[(OverVector[e]), y])}],Lgd[{"R",-(1.5#+.12ℤ.#)&@(Subscript[(OverVector[e]), y])}]},{DX[.01],Line[{(OverVector[O]),d (Subscript[(OverVector[e]), z])}],PointSize[.01],Point[d (Subscript[(OverVector[e]), z])],Lgd[{"P",(#1-0.1 ((Subscript[(OverVector[e]), z])-(Subscript[(OverVector[e]), x]))&)[1.06 d (Subscript[(OverVector[e]), z])]}],Lgd[{"x",0.5 d (Subscript[(OverVector[e]), z])-0.1 𝕐.(Subscript[(OverVector[e]), z])}]}}]},ViewAngle->0.3,ViewCenter->{{0.5,0.5,0.5},{0.48,0.61}},ImageSize->{600.,485.},ViewPoint->{2.63,-1.24,0.71},ViewVertical->{0.08,-0.04,1.07},PlotRange->{-.5,3.2},BoxRatios->{1,1,3.7/4}]/.d->2

Antes de encetar qualquer cálculo explore as simetrias da distribuição de cargas e deduza a forma (direcção e sentido) que o campo deve ter no ponto em questão e noutros pontos do espaço.

Fraccione a distribuição de carga em pedaços infinitesimais para serem aproximados por uma carga pontual e use a Lei de Coulomb para calcular a sua contribuição para o campo total.

Use a linearidade do campo eléctrico para somar as diferentes contribuições infinitesimais.

Na figura, (Subscript[ℛ, xz]), (Subscript[ℛ, yz])  e (Subscript[ℛ, xy]) representam reflexões nos planos (Subscript[π, xz]), (Subscript[π, yz]) e (Subscript[π, xy]), respectivamente.

Verifique que a distribuição uniforme de carga no anel é invariante para estas reflexões, mas o único tipo de vector no ponto P sobre o eixo que fica invariante para ambas as operações é um vector vertical.

Por um raciocíno análogo deduza o valor do campo no centro do anel. Que planos de simetria tem que usar?

Como deve ser o campo no plano horizontal  (Subscript[π, xy]), dentro e fora do perímetro do anel?

Manipulate[Show[Graphics3D@({
Which[
Not[f1]&&Not[f2]&&Not[f3],{π1=π2=π3=False;#1,fr[0],#2,#3},
f1&&Not[f2]&&Not[f3],{π1=True;π2=False;{Opacity[.25],vct},
AS[{#1,fr[0],#2,#3/."(OverVector[E])?"-> "(Subscript[ℛ, xz])(OverVector[E])?"/."P"-> "(Subscript[ℛ, xz])P"},{1,-1,1}]},
Not[f1]&&f2&&Not[f3],{π1=False;π2=True;{Opacity[.25],vct},
AS[{#1,fr[0],#2,#3/."(OverVector[E])?"-> "(Subscript[ℛ, yz])(OverVector[E])?"/."P"-> "(Subscript[ℛ, yz])P"},{-1,1,1}]},
Not[f1]&&Not[f2]&&f3,{π1=π2=False;π3=True;{Opacity[.25],vct},
AS[{#1,fr[0],#2,#3/."(OverVector[E])?"-> "(Subscript[ℛ, xy])(OverVector[E])?"/."P"-> "(Subscript[ℛ, xy])P"},{1,1,-1}]},
f1&&f2&&Not[f3],{π1=π2=True;π3=False;{Opacity[.25],vct},
AS[{#1,fr[0],#2,#3/."(OverVector[E])?"-> "(Subscript[ℛ, xz])(Subscript[ℛ, yz])(OverVector[E])?"/."P"-> "(Subscript[ℛ, xz])(Subscript[ℛ, yz])P"},{-1,-1,1}]},
f1&&Not[f2]&&f3,{π1=π3=True;π2=False;{Opacity[.25],vct},
AS[{#1,fr[0],#2,#3/."(OverVector[E])?"-> "(Subscript[ℛ, xy])(Subscript[ℛ, yz])(OverVector[E])?"/."P"-> "(Subscript[ℛ, xy])(Subscript[ℛ, yz])P"},{1,-1,-1}]},
Not[f1]&&f2&&f3,{π2=π3=True;π1=False;{Opacity[.25],vct},
AS[{#1,fr[0],#2,#3/."(OverVector[E])?"-> "(Subscript[ℛ, xy])(Subscript[ℛ, yz])(OverVector[E])?"/."P"-> "(Subscript[ℛ, xy])(Subscript[ℛ, yz])P"},{-1,1,-1}]},
f1&&f2&&f3,{π1=π2=π3=True;{Opacity[.25],vct},
AS[{#1,fr[0],#2,#3/."(OverVector[E])?"-> "(Subscript[ℛ, xy])(Subscript[ℛ, yz])(Subscript[ℛ, xz])(OverVector[E])?"/."P"-> "(Subscript[ℛ, xy])(Subscript[ℛ, yz])(Subscript[ℛ, xz])P"},{-1,-1,-1}]}
]/.vct-> ({{rd,Vect[{E1,E2,E3},{Px,Py,Pz},1]/.NL},#3}),{Opacity[.5],If[π1,{Polygon[2.4{{(Subscript[(OverVector[e]), z])-(Subscript[(OverVector[e]), x]),(Subscript[(OverVector[e]), z])+(Subscript[(OverVector[e]), x]),-((Subscript[(OverVector[e]), z])-(Subscript[(OverVector[e]), x])),-((Subscript[(OverVector[e]), z])+(Subscript[(OverVector[e]), x]))}}],Lgd[{"(Subscript[π, xz])",2.4((Subscript[(OverVector[e]), z])+(Subscript[(OverVector[e]), x])).75}]},{}],If[π2,{Polygon[2.4{{((Subscript[(OverVector[e]), z])-(Subscript[(OverVector[e]), y])),((Subscript[(OverVector[e]), z])+(Subscript[(OverVector[e]), y])),-((Subscript[(OverVector[e]), z])-(Subscript[(OverVector[e]), y])),-((Subscript[(OverVector[e]), z])+(Subscript[(OverVector[e]), y]))}}],Lgd[{"(Subscript[π, yz])",2.4((Subscript[(OverVector[e]), z])-(Subscript[(OverVector[e]), y])).75}]},{}],If[π3,{Polygon[2.4{{(Subscript[(OverVector[e]), y])-(Subscript[(OverVector[e]), x]),(Subscript[(OverVector[e]), y])+(Subscript[(OverVector[e]), x]),-((Subscript[(OverVector[e]), y])-(Subscript[(OverVector[e]), x])),-((Subscript[(OverVector[e]), y])+(Subscript[(OverVector[e]), x]))}}],Lgd[{"(Subscript[π, xy])",2.4((Subscript[(OverVector[e]), y])+(Subscript[(OverVector[e]), x])).75}]},{}]}}&[fig[[1]],{TH[2],rd,Vect[{E1,E2,E3},{Px,Py,Pz},1]},{Lgd[{"(OverVector[E])?",1.1{E1,E2,E3}+{Px,Py,Pz}}],{DX[.01],Line[{(OverVector[O]),{Px,Py,Pz}}]},PointSize[.01],Point[{Px,Py,Pz}],Lgd[{"P",(#1-0.1 ((Subscript[(OverVector[e]), z])-(Subscript[(OverVector[e]), x]))&)[1.06 {Px,Py,Pz}]}],Lgd[{"x",(0.5 #-0.1 𝕐.#)&[{Px,Py,Pz}]}]}]),
ViewAngle->0.4,ViewPoint->2{1,.5,.5},ViewAngle->0.4,PlotRange->{{-3,3},{-3,3},{-3,3.2}},BoxRatios->{1,1,6.2/6},Boxed->False,ImageSize->500],{{E1,1,"(Subscript[E, x])"},-1,1},{{E2,1,"(Subscript[E, y])"},-1,1},{{E3,1,"(Subscript[E, z])"},-1,1},{{Px,0,"(Subscript[P, x])"},-2,2},{{Py,0,"(Subscript[P, y])"},-2,2},{{Pz,1.5,"(Subscript[P, z])"},-2,2},{{f1,False,"(Subscript[ℛ, xz])"},{False,True}},{{f2,False,"(Subscript[ℛ, yz])"},{False,True}},{{f3,False,"(Subscript[ℛ, xy])"},{False,True}},ControlPlacement->Left,SaveDefinitions->True]

Solução

Lei de Coulomb —  o campo criado na posição (OverVector[r]) por uma carga q na posição (Subscript[(OverVector[r]), q]) é dado pela expressão:

(OverVector[E])[(OverVector[r]),q,(Subscript[(OverVector[r]), q])]=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))(q/((\[LeftBracketingBar](OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), q])\[RightBracketingBar])^2))(Subscript[(OverVector[u]), (OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), q])])≡(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))(q/((\[LeftBracketingBar](OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), q])\[RightBracketingBar])^3))((OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), q]));

Definição operacional

(OverVector[E])[x_,q_,y_]:=(q/(4π (Subscript[ϵ, o])))(((x-y)/((((x-y).(x-y)))^(3/2))))

Constantes electrostáticas

SIUnits=({{(Subscript[q, e])-> 1.602176462 ×(10^(-19))   (* Coulomb *), Carga do Electrão	}, {(Subscript[ϵ, o])->8.854187817×(10^(-12))      (* ((Ampere Segundo)/(Metro Volt)) *), Permitividade  eléctrica do vácuo.}, {(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))-> (10^(-7))×(c^2)    (* ≈ 9×(10^9) ((Metro Volt)/(Ampere Segundo)) *), Constante Eléctrica	}, {c->299792458    (* (Metro/Segundo) *), Velocidade da luz  no vácuo.}})\[Transpose][[1]];

Princípio de superposição — o campo criado na posição (OverVector[r]) por várias cargas é o somatório dos campos criados na posição (OverVector[r]) por cada carga separadamente.

(OverVector[E])[(OverVector[r])]=(∑_(i=1)^N)(OverVector[E])[(OverVector[r]),(Subscript[q, i]),(Subscript[(OverVector[r]), i])]≡(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))(∑_(i=1)^N)((Subscript[q, i])/((\[LeftBracketingBar](OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), i])\[RightBracketingBar])^3))((OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), i]));

Começamos por escolher um sistema de referência adequado (origem + versores de base). Neste caso muito particular podemos colocar a origem na posição do ponto P. Se orientarmos o eixo do anel na direcção (Subscript[(OverVector[e]), z]), podemos usar o ângulo φ para parametrizar o anel.

Manipulate[SH[{ring,dring[φ],dring[φ+π], G3[{
{Hue[hue[Magenta],.5,1],fr[0],DX[.005],AS[arc[0,φ],.7{1,1,1}],Line[{2(Subscript[(OverVector[e]), x]),(OverVector[O])}],Line[{-R(Subscript[(OverVector[e]), r])[φ],2(Subscript[(OverVector[e]), r])[φ]}],Line[{-2(Subscript[(OverVector[e]), r])[φ],d(Subscript[(OverVector[e]), z])}]},
{DX[.01],Lgd[{"\[DifferentialD]φ",2.2(Subscript[(OverVector[e]), r])[φ]}],Lgd[{"\[DifferentialD]φ",-2.2(Subscript[(OverVector[e]), r])[φ]}],Lgd[{"φ",.8#[[1,Round[Length[#[[1]]]/2]]]}]&@arc[0,φ],Lgd[{"R",(1.5#+.12ℤ.#)&@(Subscript[(OverVector[e]), x])}],
Line[{2.3(Subscript[(OverVector[e]), r])[φ+π/50],(OverVector[O]),2.3(Subscript[(OverVector[e]), r])[φ-π/50]}],Line[{-2.3(Subscript[(OverVector[e]), r])[φ+π/50],(OverVector[O]),-2.3(Subscript[(OverVector[e]), r])[φ-π/50]}]},
{vect[#,(OverVector[O]),.75],Lgd[{"(Subscript[(OverVector[e]), r])[φ]",#+.3ℤ.#}]}&[(Subscript[(OverVector[e]), r])[φ]],{Line[{(OverVector[O]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])}],Lgd[{"P",(#+.1𝕐.#)&[d(Subscript[(OverVector[e]), z])]}],Lgd[{"x",.75d(Subscript[(OverVector[e]), z])-.1𝕐.(Subscript[(OverVector[e]), z])}]},{TH[2],vect[#,d(Subscript[(OverVector[e]), z]),1],Lgd[{"(Subscript[(OverVector[r]), φ])",(#.7-.4ℤ.ud[#])+d(Subscript[(OverVector[e]), z])}]}&[R(Subscript[(OverVector[e]), r])[φ]-d(Subscript[(OverVector[e]), z])],{{TH[2],rd,vect[#1+#2,d(Subscript[(OverVector[e]), z]),1],Lgd[{"\[DifferentialD](OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]), φ, φ+π]",#1+#2+1.05d(Subscript[(OverVector[e]), z])}]},
{bl, vect[#1,d(Subscript[(OverVector[e]), z]),1],Lgd[{"\[DifferentialD](OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),\[DifferentialD]q[φ], (Subscript[(OverVector[r]), φ])]",#1+1.05d(Subscript[(OverVector[e]), z]),{1,0}}],vect[#2,d(Subscript[(OverVector[e]), z]),1],Lgd[{"\[DifferentialD](OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),\[DifferentialD]q[φ+π], (Subscript[(OverVector[r]), φ+π])]",#2+1.05d(Subscript[(OverVector[e]), z]),{-1,0}}],DX[.01],Line[{d(Subscript[(OverVector[e]), z])+#1,d(Subscript[(OverVector[e]), z])+#1+#2,d(Subscript[(OverVector[e]), z])+#2}]}}&[(OverVector[E])[d(Subscript[(OverVector[e]), z]),1.1 (10^(-9)),R(Subscript[(OverVector[e]), r])[φ]],(OverVector[E])[d(Subscript[(OverVector[e]), z]),1.1 (10^(-9)),-R(Subscript[(OverVector[e]), r])[φ]]]}/.R->2/.SIUnits/.vect->Vect]},ViewAngle->.3,ViewPoint->{2,-2,1},cprt],{{φ,π/4.},0,2π},{{d,2.,"x"},-1,4},ControlPlacement->Left,SaveDefinitions->True]

Versores auxiliares

Colocamos a origem em P e definimos o ângulo azimutal φ na horizontal relativamente a (Subscript[(OverVector[e]), x]).

O versor que aponta, na horizontal, do centro do anel para  o segmento anelar Rdφ que contém a carga dq parametrizada por φ é

(Subscript[(OverVector[e]), r])[φ_]:=Cos[φ](Subscript[(OverVector[e]), x])+Sin[φ](Subscript[(OverVector[e]), y]);

Cargas e posições

({{(Subscript[(OverVector[r]), P])=(OverVector[O]) 	- -	colocamos a origem no ponto P.	;}, {(Subscript[(OverVector[r]), φ_]):=R(Subscript[(OverVector[e]), r])[φ]-x(Subscript[(OverVector[e]), z])  	- -posição da carga \[DifferentialD]q[φ]relativamente à origem em P.	;}, {\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), P])-(Subscript[(OverVector[r]), φ])\[RightBracketingBar]≡\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), φ])\[RightBracketingBar]==(Sqrt[(R^2)+(x^2)])   	- -distância da carga \[DifferentialD]q[φ]  ao ponto P.	;}, {(Subscript[(OverVector[u]), (Subscript[(OverVector[r]), P])-(Subscript[(OverVector[r]), φ])])=(( 1)/(Sqrt[(R^2)+(x^2)]))(-R(Subscript[(OverVector[e]), r])[φ]+x(Subscript[(OverVector[e]), z]) )	-versor do vector (Subscript[(OverVector[r]), P])-(Subscript[(OverVector[r]), φ]).	;}});

nb=SelectedNotebook[];
NotebookFind[nb,"fig1",All,CellTags];
SelectionEvaluate[nb,After];
NotebookFind[nb,"fig2",All,CellTags];
SelectionEvaluate[nb,After];
NotebookFind[nb,"fig3",All,CellTags];
SelectionEvaluate[nb,After];

Se a carga Q está uniformemente distribuída pelo anel de raio R, a densidade linear de carga será λ≡((dQ)/(dℓ))=(Q/(2π R)), i.e a carga a dividir pelo perímetro do anel.

λ=(Q/(2π R))         (* (C/m) *);

Qualquer segmento angular dφ  de anel terá então sempre a mesma carga dq[φ]=dq=λ R dφ.

𝕕q=λ R 𝕕φ== (Q/(2π))𝕕φ      (* C *);

Campo resultante

Emparelhando segmentos do anel diametralmente opostos obtemos contribuições d(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),φ] para o campo em P que só têm componente segundo (Subscript[(OverVector[e]), z]).

({{𝕕(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),\[DifferentialD]q,(Subscript[(OverVector[r]), φ])]=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((𝕕q)/((((R^2)+(x^2)))^(3/2)))(-R(Subscript[(OverVector[e]), r])[φ]+x(Subscript[(OverVector[e]), z]))}, {𝕕(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),\[DifferentialD]q,(Subscript[(OverVector[r]), φ+π])]=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((𝕕q)/((((R^2)+(x^2)))^(3/2)))(-R(Subscript[(OverVector[e]), r])[φ+π]+x(Subscript[(OverVector[e]), z]))}});

Os versores auxiliares (Subscript[(OverVector[e]), r])[φ] e (Subscript[(OverVector[e]), r])[φ+π] são simétricos

(Subscript[(OverVector[e]), r])[φ+π]==-(Subscript[(OverVector[e]), r])[φ]

Os elementos de carga dq=λ R dφ=(Q/(2π ))dφ nas posições parametrizadas por φ e φ+π geram assim um campo

𝕕(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),φ]== \[DifferentialD](OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),𝕕q,(Subscript[(OverVector[r]), φ])]+𝕕(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),𝕕q,(Subscript[(OverVector[r]), φ+π])]== (1/(4π (Subscript[ϵ, o])))(((Q/(2π)) 𝕕φ)/((((R^2)+(x^2)))^(3/2)))2x (Subscript[(OverVector[e]), z])

A soma das contribuições de todos estes N=(π/(dφ)) pares de cargas dá o campo total. No limite dφ->0 a soma torna-se o integral para 0≤ φ≤π

(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P])]==(∫_0^π)\[DifferentialD](OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),φ]== (∫_0^π)(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))(((Q/(2π)) )/((((R^2)+(x^2)))^(3/2)))2x (Subscript[(OverVector[e]), z])\[DifferentialD]φ== (1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((Q x )/((((R^2)+(x^2)))^(3/2))) (Subscript[(OverVector[e]), z])

Qual o valor do campo no centro do anel?

Como deve comportar-se uma carga largada no plano do anel?

Prolema 2.3

Um disco de raio R tem uma carga Q distríbuida uniformemente. Calcular o campo eléctrico (OverVector[E]) num ponto P que está a uma distância x do centro da esfera. (Usar o resultado do problema do disco.)

Show[{disk,TS[ring,-.05(Subscript[(OverVector[e]), z])],G3[{Lgd[{"σ=(Q/((πR)^2)) ",.4(Subscript[(OverVector[e]), x])}],{DX[.02],Line[{(OverVector[O]),-2(Subscript[(OverVector[e]), y])}],Lgd[{"R",-(#+.12ℤ.#)&@(Subscript[(OverVector[e]), y])}]},{DX[.01],Line[{(OverVector[O]),d (Subscript[(OverVector[e]), z])}],PointSize[.01],Point[d (Subscript[(OverVector[e]), z])],Lgd[{"P",(#1-0.1 ((Subscript[(OverVector[e]), z])-(Subscript[(OverVector[e]), x]))&)[1.06 d (Subscript[(OverVector[e]), z])]}],Lgd[{"x",0.5 d (Subscript[(OverVector[e]), z])-0.1 𝕐.(Subscript[(OverVector[e]), z])}]}}]},ViewAngle->0.32`,ViewPoint->{2,-2,1}]/.d->2

Solução

Vamos subdividir o disco em anéis concêntricos de espessura dr e raio variável r entre 0 e R.

O campo d(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),r] gerado pela carga 𝕕q[r] distribuída uniformemente em cada um destes anéis é  vertical em qualquer ponto (Subscript[(OverVector[r]), P]) do eixo de simetria, tal como calculado no problema anterior.

disk=G3[{Cylinder[{(OverVector[O]),-.1(Subscript[(OverVector[e]), z])},2]},PlotRange->1.1{{-2,2},{-2,2},{-2,4}},BoxRatios->{1,1,6/4},Boxed->False,Axes->None,ImageSize->500];
edge=TS[ring,-.05(Subscript[(OverVector[e]), z])];
torus[r_]:=ParametricPlot3D[(({{Cos[φ], Sin[φ], 0}, {-Sin[φ], Cos[φ], 0}, {0, 0, 1}})).{r+.05Cos[θ],0,.05Sin[θ]},{θ,0,2π},{φ,0,2π},PlotRange->1.1{{-2,2},{-2,2},{-1,4}},BoxRatios->{1,1,5/4},Mesh->False,PlotPoints->60,Boxed->False,Axes->None,ImageSize->500];
Manipulate[Show[{disk,edge ,TS[torus[r],-.035(Subscript[(OverVector[e]), z])], G3[{ 
 {vect[#,d (Subscript[(OverVector[e]), z]),1],Lgd[{"\[DifferentialD](OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]), r]",(#+.2𝕐.(Subscript[(OverVector[e]), z]))&@(d(Subscript[(OverVector[e]), z])+#),{1,1}}]}&@((1/(2(Subscript[ϵ, o])))((σ d  r .5)/((((r^2)+(d^2)))^(3/2)))(Subscript[(OverVector[e]), z])/.σ-> (Q/(π (R^2)))/.R->2/.Q->.85×(10^(-9))/.SIUnits),{TH[2],rd,vect[#,d(Subscript[(OverVector[e]), z]),1],Lgd[{"(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P])]",(#+.2𝕐.(Subscript[(OverVector[e]), z]))&@(d(Subscript[(OverVector[e]), z])+#),{1,1}}]}&@((σ/(2  (Subscript[ϵ, o])))(Sign[d]-(( d)/(Sqrt[(R^2)+(d^2)])))(Subscript[(OverVector[e]), z])/.σ-> (Q/(π (R^2)))/.R->2/.Q->.85×(10^(-9))/.SIUnits),Lgd[{"σ=(Q/((πR)^2)) ",2.6(Subscript[(OverVector[e]), x])}],
{DX[.02],Line[{(OverVector[O]),-2(Subscript[(OverVector[e]), y])}],Lgd[{"R",-(#+.12ℤ.#)&@(Subscript[(OverVector[e]), y])}],
DX[.005],RSz[{Line[{(OverVector[O]),r(Subscript[(OverVector[e]), x])}],Lgd[{"r",((Subscript[(OverVector[e]), x])+.2ℤ.(Subscript[(OverVector[e]), x]))(r/2)}],Line[{(r-.04)(Subscript[(OverVector[e]), x])+.1ℤ.(Subscript[(OverVector[e]), x]),(r-.04)(Subscript[(OverVector[e]), x])-.1ℤ.(Subscript[(OverVector[e]), x])}],Line[{(r+.04)(Subscript[(OverVector[e]), x])+.1ℤ.(Subscript[(OverVector[e]), x]),(r+.04)(Subscript[(OverVector[e]), x])-.1ℤ.(Subscript[(OverVector[e]), x])}],Lgd[{"\[DifferentialD]r",r(Subscript[(OverVector[e]), x])+.1𝕐.(Subscript[(OverVector[e]), x])}]},-π/4]},{DX[.01],Line[{(OverVector[O]),d (Subscript[(OverVector[e]), z])}],PointSize[.01],Point[d (Subscript[(OverVector[e]), z])],Lgd[{"P",(#1-0.1 ((Subscript[(OverVector[e]), z])-(Subscript[(OverVector[e]), x]))&)[1.06 d (Subscript[(OverVector[e]), z])]}],Lgd[{"x",0.5 d (Subscript[(OverVector[e]), z])-0.1 𝕐.(Subscript[(OverVector[e]), z])}]}}]/.vect->Vect},ViewAngle->0.32`,ViewPoint->{2,-2,1},cprt],{{d,2,"x"},-3,3},{{r,1.5},0,2,ControlType->Manipulator},ControlPlacement->Left,SaveDefinitions->True]

A soma destas contribuições para todos  os N=(R/(dr)) anéis que preenchem o disco é, no limite em que dr->0, o campo total do disco em (Subscript[(OverVector[r]), P]).

(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P])]≈(∑_(n=0)^N)𝕕(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),n \[DifferentialD]r]           (Overscript[⟶,     \[DifferentialD]r->0    ])                (OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P])]==(∫_0^R)\[DifferentialD](OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),r]

Cargas e Posições

Densidade superficial de carga σ=((dQ)/(dS)) duma distribuição uniforme é a carga total a dividir pela área onde se distribui.

σ=(Q/(π (R^2)));

Um segmento anelar de raio 0<r≤ R e espessura dr contém a carga dq[r]=σdS[r].

𝕕q[r]=σ 2π r 𝕕r=σ(π (((r+\[DifferentialD]r))^2)-π (r^2))

Campo dum anel de raio r

O campo deste anel de carga dq num ponto do eixo a distância x do seu centro é agora d(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),r] como obtido no problema anterior com as substituições R->r e Q->dq[r]:

𝕕(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),r]=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((x 𝕕Q[r])/((((r^2)+(x^2)))^(3/2))) (Subscript[(OverVector[e]), z])=(1/(2(Subscript[ϵ, o])))((σ x  r 𝕕r)/((((r^2)+(x^2)))^(3/2))) (Subscript[(OverVector[e]), z])=(Q/(2 π (Subscript[ϵ, o]) (R^2)))((x r)/((((r^2)+(x^2)))^(3/2)))(Subscript[(OverVector[e]), z]) 𝕕r

Campo total

O campo total (OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P])]  é a soma de todas estas contribuições quando r vai de r=0 até r=R.

(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P])]=∫\[DifferentialD](OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),r]=(∫_0^R)(Q/(2π (Subscript[ϵ, o]) (R^2)))((x r)/((((r^2)+(x^2)))^(3/2))) (Subscript[(OverVector[e]), z]) \[DifferentialD]r =(Q/(2π (Subscript[ϵ, o])  (R^2) ))(Sign[x]-(( x)/(Sqrt[(R^2)+(x^2)])))(Subscript[(OverVector[e]), z])

Cálculo do integral anterior:

NB:                    ((Q x)/(2 π (Subscript[ϵ, o]) (R^2) ))(∫_0^R)(( r )/((((r^2)+(x^2)))^(3/2)))  dr	- note             r dr=(1/2)d((r^2)+(x^2))   para x constante.	;
⟶	((Q x)/(2 π (Subscript[ϵ, o]) (R^2) ))(∫_(x^2)^((R^2)+(x^2)))((1/2)/( ((((r^2)+(x^2)))^(3/2))))d((r^2)+(x^2))	- a nova variável de integração é  (r^2)+(x^2)=w.	;
⟶	((Q x)/(4 π (Subscript[ϵ, o]) (R^2) ))(∫_(x^2)^((R^2)+(x^2)))(1/(w^(3/2)))dw	- note-	a primitiva de (w^(-3/2)) é -2(w^(-1/2)).	;
⟶	((Q x)/(4 π (Subscript[ϵ, o]) (R^2) ))((2/(Sqrt[(x^2)]))-(2/(Sqrt[(R^2)+(x^2)])))	- note        -note que  (x/(Sqrt[(x^2)]))=(x/(|x|))=Sign[x].	;

Exercícios

No limite em que P está muito perto da superfície do disco, ou em que R ≫x, mostre que o campo no centro do disco é simplesmente (OverVector[E])[(Subscript[O, ±])]=±(σ/(2(Subscript[ϵ, o]))) (Subscript[(OverVector[e]), z]), onde ± representa o lado do disco em que o campo é considerado.

Explique porque é que o campo no centro do disco é diferente de zero, quando vimos que a contribuição de cada anel para o campo no seu centro é zero.

Justifique porque é que o campo em qualquer ponto da superfície de um plano infinito 𝒮 com densidade de carga uniforme σ é igual ao do centro de um disco com a mesma densidade de carga, (Subscript[(OverVector[E]), 𝒮])=(σ/(2(Subscript[ϵ, o])))(OverVector[n]), onde (OverVector[n]) é a normal  à superfície do plano.

Explique ainda porque é que, no caso do plano infinito com densidade de carga uniforme σ, podemos concluir que o campo em qualquer ponto do espaço (OverVector[r]) é igual ao da superfície do plano no mesmo lado em que o ponto está (e portanto constante nesse lado do espaço), (OverVector[E])((OverVector[r]))=(σ/(2(Subscript[ϵ, o])))(OverVector[n]).

Problema 2.4

Uma esfera de raio R tem uma carga eléctrica Q distribuída uniformemente. Calcular o campo eléctrico (OverVector[E]) num ponto P que está a uma distância x do centro da esfera. (Usar o resultado do problema do disco.)

Manipulate[Show[{RS[{ sphere, If[f,{G3[AS[arc[0,2π],2{1,1,1}]],frame,TS[cyl[h],h(Subscript[(OverVector[e]), z])]},{}],G3[{Vect[d(Subscript[(OverVector[e]), z]),(OverVector[O]),1],Lgd[{"(Subscript[(OverVector[r]), P])",(#+.4𝕏.ud[#])&[d(Subscript[(OverVector[e]), z])]}],
If[f,{{TH[2],rd,vect[#,d(Subscript[(OverVector[e]), z]),1],Lgd[{"𝕕(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]), z]",(#+.4𝕏.ud[#])&[1.01d(Subscript[(OverVector[e]), z])+#]}]}&@((Q/(2 π  (r^2) (Subscript[ϵ, o])))(Sign[x]-(( x)/(Sqrt[(r^2)+(x^2)])))(Subscript[(OverVector[e]), z])/.x->d-h/.Q->((3×.2× (10^(-8)))/(4π (R^3))) π ((R^2)-(h^2))/.r->(Sqrt[(2^2)-(h^2)])/.R->2/.SIUnits)/.vect->Vect,
{DX[.005],Line[{(OverVector[O]),h(Subscript[(OverVector[e]), z])}],Lgd[{"z",(.5#-.2𝕏.ud[#])&[h(Subscript[(OverVector[e]), z])]},{"𝕕z",h(Subscript[(OverVector[e]), z])+1.1(Sqrt[4-(h^2)])ud@((Subscript[(OverVector[e]), x])-(Subscript[(OverVector[e]), y]))}]},
{GrayLevel[.5],Line[(#-.2𝕏.ud[(Subscript[(OverVector[e]), z])])&/@{(h+0.016)(Subscript[(OverVector[e]), z])+.1(Subscript[(OverVector[e]), y]),(h+0.016)(Subscript[(OverVector[e]), z])-.1(Subscript[(OverVector[e]), y]),(h+0.016)(Subscript[(OverVector[e]), z]),d(Subscript[(OverVector[e]), z]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])+.1(Subscript[(OverVector[e]), y]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])-.1(Subscript[(OverVector[e]), y])}],Lgd[{"x-z",(.5#-.5𝕏.ud[#])&[(d+h)(Subscript[(OverVector[e]), z])]}]}},{}]
}]},0,θ,φ],If[f,RS[G3[{PointSize[.01],LI@{d(Subscript[(OverVector[e]), z]),h(Subscript[(OverVector[e]), z])}}],0,θ,φ]/.Line[z_]:>(Point/@z),{}]},
PlotRange->2.5{{-2,2},{-2,2},{-2,2}},BoxRatios->{1,1,1},ViewAngle->0.25,ViewPoint->{2,2,1},cprt],{{d,3,"x"},2,5},{{h,1.6,"z"},-(Sqrt[3.89]),(Sqrt[3.89])},{{θ,π/5},0,π},{{φ,2π-.6},0,2π},{{f,True,"disco"},{True,False}},ControlPlacement->Left]

Solução

Dada a simetria da esfera, podemos escolher sempre a  linha que une (Subscript[(OverVector[r]), P]) e o centro da esfera como eixo (Subscript[(OverVector[e]), z]).

A esfera pode ser decomposta em fatias circulares de raio r[z] e espessura dz perpendiculares a (Subscript[(OverVector[e]), z]), à distância z do seu centro, cada uma das quais contém uma fracção dq[z] da carga total Q.

Cada um destes discos gera um campo d(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),z] no ponto (Subscript[(OverVector[r]), P]) sobre o seu eixo, à distância x-z do seu centro,  que é dirigido na perpendicular ao disco tal como no problema anterior.

A soma destas contribuições para todos  os N=((2R)/(dz)) discos que preenchem a esfera é, no limite em que dz->0, o campo total da esfera em (Subscript[(OverVector[r]), P]).

(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P])]≈(∑_(n=-N/2)^(N/2))\[DifferentialD](OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),n \[DifferentialD]z]           (Overscript[⟶,      \[DifferentialD]z->0     ])                (OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P])]=(∫_(-R)^R)\[DifferentialD](OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),z]

Como o problema tem simetria esférica, qualquer rotação em torno de um eixo passando pelo ponto P e o centro da esfera não pode alterar o resultado, pelo que o campo é radial e depende apenas da distância x e da direcção (Subscript[(OverVector[e]), r])=((Subscript[(OverVector[r]), P])/(|(Subscript[(OverVector[r]), P])|)).

(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P])]== (1/(Subscript[ϵ, o]))(Q/(4 π ((\[LeftBracketingBar](Subscript[(OverVector[r]), P])\[RightBracketingBar])^2) ))(Subscript[(OverVector[e]), r])==(1/(Subscript[ϵ, o]))(Q/(4 π (x^2) ))(Subscript[(OverVector[e]), r])

Cargas e posições

A esfera pode ser dividida em discos de espessura dz perpendiculares ao eixo (Subscript[(OverVector[e]), z]) passando pelo centro da esfera e pelo ponto P. Escolhendo a origem no centro da esfera, à cota z corresponde um disco de raio r[z], cujo centro está à distância x-z do ponto P.

r[z_]:=(Sqrt[(R^2)-(z^2)]);                                                                (Subscript[(OverVector[r]), P])=x (Subscript[(OverVector[e]), z]) ;

A densidade volúmica de carga  ρ no caso da distribuição uniforme é simplesmente a carga a dividir pelo volume

ρ== ((\[DifferentialD]Q)/(\[DifferentialD]V))         (Overscript[⟶, dist. uniforme])              ρ== (Q/(Subscript[V, esf.]))== (Q/((4/3)π (R^3)))

Cada disco destes possui um  volume dV[z]=π ((r[z])^(2 ))dz  e  uma carga dQ[z]=ρdV[z]

𝕕Q[z_]:=((3Q)/(4π (R^3))) π ((R^2)-(z^2))𝕕z

Cada disco destes à cota z contribui assim com um campo 𝕕(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),z] para o campo em (Subscript[(OverVector[r]), P]) à distância x-z do disco.

𝕕(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),z]== ((𝕕Q[z])/(2 π  (Subscript[ϵ, o]) ((r[z])^2)))(1-(( x-z)/(Sqrt[((r[z])^2)+(((x-z))^2)])))(Subscript[(OverVector[e]), z])=((3 Q )/(8 π (Subscript[ϵ, o]) (R^3) )) (1-((x-z)/(Sqrt[(R^2)+(x^2)-2 x z])))(Subscript[(OverVector[e]), z])𝕕z

O campo total é a soma desta contribuições 𝕕(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]), z] para z  entre  -R  e  R.

(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P])]== (∫_(-R)^R)𝕕(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P]),z]==(∫_(-R)^R)((3 Q )/(8 π (R^3) (Subscript[ϵ, o]))) (1-((x-z)/(Sqrt[(R^2)+(x^2)-2 x z])))(Subscript[(OverVector[e]), z])\[DifferentialD]z==(1/(Subscript[ϵ, o]))(Q/(4 π (x^2) ))(Subscript[(OverVector[e]), z])

Cálculo do integral anterior:

NB:      ((3Q)/(8π(R^3)(Subscript[ϵ, o])))(∫_(-R)^R)(1-((x-z)/(Sqrt[(R^2)+(x^2)-2xz])))dz(Subscript[(OverVector[e]), z]) 	- note-	a primeira parte integra-se imediatamente.	;

⟶          ((3Q)/(8π(R^3)(Subscript[ϵ, o])))(2R-(∫_(-R)^R)((x-z)/(Sqrt[(R^2)+(x^2)-2xz]))dz)(Subscript[(OverVector[e]), z])	- note-            o denominador é a derivada dum radical em z .	;
	
⟶          ((3Q)/(8π(R^3)(Subscript[ϵ, o])))(2R+(1/x)(∫_(x+R)^(x-R))(x-z)d((Sqrt[(R^2)+(x^2)-2xz])))(Subscript[(OverVector[e]), z])	 a nova variável w=(Sqrt[(R^2)+(x^2)-2xz]) varia entre x+R e x-R.;
	
⟶          ((3Q)/(8π(R^3)(Subscript[ϵ, o])))(2R+(1/(2(x^2)))(∫_(x+R)^(x-R))((w^2)+(x^2)-(R^2))dw)(Subscript[(OverVector[e]), z])	- notesubstituindo  z->(((R^2)-(w^2)+(x^2))/(2 x)) no integrando anterior.	;

⟶          ((3Q)/(8π(R^3)(Subscript[ϵ, o])))(2 R+(Subscript[(1/(2(x^2)))[((w^3)/3)+w((x^2)-(R^2))], x+R]^(x-R)))(Subscript[(OverVector[e]), z])	- note-  o integral  é a diferença entre primitivas do polinómio em w.	;

⟶          ((3Q)/(8π(R^3)(Subscript[ϵ, o])))(2 R+(2/(3 (x^2)))((R^3)-3(x^2) R ))(Subscript[(OverVector[e]), z])	- note-	  expandindo o termo em 2R cancela.	;
	
⟶          (Q/(4 π (Subscript[ϵ, o]) (x^2) ))(Subscript[(OverVector[e]), z])	- note-				 e obtemos o resultado esperado.	;

Este resultado é a Lei de Gauss para a esfera de raio x que passa em (Subscript[(OverVector[r]), P]): O fluxo do campo eléctrico através de uma superfície fechada 𝒮 é sempre igual a ((Subscript[Q, int])/ϵ), onde (Subscript[Q, int]) designa a carga interna à superfície e ϵ a permitividade eléctrica do meio.

Qualquer rotação 𝔸 da esfera em torno do seu centro deixa invariante a distribuição de cargas da esfera, pelo que o campo na posição rodada (Subscript[(OverVector[r]), P'])=𝔸.(Subscript[(OverVector[r]), P]) é igual ao campo rodado (OverVector[E])[𝔸.(Subscript[(OverVector[r]), P])]=𝔸.(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), P])]. Isto significa que sobre uma esfera de raio x concêntrica com a da distribuição de carga o campo é radial e de magnitude constante.

Uma rotação pode ser representada por uma matriz ortogonal real 𝔸 (ou seja uma matriz cuja transposta é igual ao seu inverso, (𝔸^ᵀ)=(𝔸^(-1))) com determinante det[𝔸]=1.

Para um campo radial da forma (OverVector[E])[(OverVector[r])]=(Subscript[E, r])[r](Subscript[(OverVector[e]), r])[θ,φ] o fluxo através de uma esfera centrada na origem é fácil de calcular porque a magnitude do campo é constante sobre a superfície esférica r=(c^te) e a normal à superfície esférica em cada ponto é (OverVector[n])[θ,φ]=(Subscript[(OverVector[e]), r])[θ,φ].

(Subscript[Φ, 𝒮])[(OverVector[E])]== (Subscript[∯, 𝒮])  (OverVector[E])[(OverVector[r])]·(OverVector[n])\[DifferentialD]S[(OverVector[r])]== (Subscript[∯, 𝒮])(Subscript[E, r])[x]\[DifferentialD]S[(OverVector[r])]

O fluxo (Subscript[Φ, 𝒮])[(OverVector[E])] para uma superfície esférica 𝒮 de raio x é calculado simplesmente notando que a área de uma esfera de raio x é (Subscript[S, x])=4π (x^2) e (Subscript[E, r])[x] é constante para x=(c^te).

(Subscript[Φ, 𝒮])[(OverVector[E])]==(Subscript[E, r])[x] (Subscript[∯, 𝒮])\[DifferentialD]S[(OverVector[r])]==(Subscript[E, r])[x] (Subscript[S, x])==(Subscript[E, r])[x]4π (x^2)

ou sabendo que o elemento de área em "coordenadas esféricas" é dS[θ,φ]=(r^2)Sin[θ]dθdφ, para r=x tem-se

(Subscript[Φ, 𝒮])[(OverVector[E])]== (∫_0^(2π))(∫_0^π)(Subscript[E, r])[x](x^2)Sin[θ]\[DifferentialD]θ\[DifferentialD]φ==4π (x^2)(Subscript[E, r])[x]

(Subscript[E, r])[x]== (((Subscript[Φ, 𝒮])[(OverVector[E])])/(4π (x^2)))== ((Q/(Subscript[ϵ, o]))/(4π (x^2)))

Exercícios

Use as simetrias da distribuição uniforme de cargas na esfera para deduzir a forma geral do seu campo em qualquer ponto do espaço (tal como se fez no problema 2.1).

Se a densidade volúmica de carga variasse apenas com a distância ao centro da esfera, ρ=ρ[r] como é que o campo diferia do caso ρ=(c^te)?

Use o teorema de Gauss para deduzir de que forma varia o campo dentro da esfera uniformemente carregada.