Electromagnetismo e Óptica (LEIC)
1ºSem. 2007/2008
http://fisica.ist.utl.pt/~leic_f2

Definições iniciais

Definições Globais

SetDirectory[DirectoryName["WindowTitle"/.NotebookInformation[InputNotebook[]]]];

If[Cases[Contexts[],"Notation`"]=={},Get["Notation`"],NotebookClose[Notebooks[]//Cases[#,z_NotebookObject/;StringMatchQ[ToString[z],"*Notation*"]][[1]]&]]

SetOptions[SelectedNotebook[],WindowSize->{1400,900}];

Off[General::"spell1",General::"obspkg",Graphics`Graphics3D`ListSurfacePlot3D::"shdw",Graphics`Shapes`RotateShape::"shdw",General::"newpkg",Symbolize::"bsymbexs"];

SIUnits=({{(Subscript[q, e])-> 1.602176462 ×(10^(-19))   (* Coulomb *), Carga do Electrão	}, {(Subscript[ϵ, o])->8.854187817×(10^(-12))      (* ((Ampere Segundo)/(Metro Volt)) *), Permitividade  eléctrica do vácuo.}, {(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))-> (10^(-7))×(c^2)    (* ≈ 9×(10^9) ((Metro Volt)/(Ampere Segundo)) *), Constante Eléctrica	}, {c->299792458    (* (Metro/Segundo) *), Velocidade da luz  no vácuo.}})\[Transpose][[1]];

({{Symbolize[(Subscript[m, _])], Symbolize[(Subscript[(OverVector[u]), _]) ], Symbolize[(Subscript[(OverVector[v]), _])], Symbolize[(_)'], Symbolize[(OverVector[R])], Symbolize[(OverVector[r])], Symbolize[(OverVector[v])], Symbolize[(OverVector[V])], Symbolize[(Subscript[(OverVector[𝕖]), _])]}, {Symbolize[(Subscript[ϵ, o])], Symbolize[(Subscript[μ, o])], Symbolize[(OverVector[E])], Symbolize[(OverVector[F])], \[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder]}});

Definições Gráficas

As minhas definições gráficas:

<<Graphics`Shapes`

SetOptions[Manipulator,{ImageSize->Tiny,AppearanceElements->{ "InputField"}}];

G2=Graphics;
G3=Graphics3D;
TS=TranslateShape;
RS=RotateShape;
LI=Line;
DX=Dashing[{#1,#1,#1}]&;
rd=Red;bl=Blue;gr=Green;
Clear[AS];
AS[sh_,sc_]:=AffineShape[sh,sc]/.Point[z_]:>Point[z sc]

Repõe a definição de Sphere do sistema

Unprotect[Graphics`Shapes`Sphere];Remove[Graphics`Shapes`Sphere]
Unprotect[Sphere];Sphere=System`Sphere;

Definição de seta 2D usando o vector e o ponto base como argumentos.

vec2[x_,y_,s_:.1]:={Arrowheads[s],Arrow[{y,y+x}]}

Redefinição dos cones e bases dos vectores 3D de 10 para 6 arestas.

bs[s_]:=TranslateShape[AffineShape[Cone[0.05,0,6],{s,s,s}],{0,0,1-0.2 s}]
cn[s_]:=TranslateShape[AffineShape[Cone[0.05,0.1,6],{s,s,s}],{0,0,1-0.1 s}]

Protótipo de vector unitário (Subscript[(OverVector[e]), y])

(Subscript[e, y])[s_:.5]:={Line[{{0,0,0},{0,1-s .2,0}}],RotateShape[cn[s],0,(π/2),0],RotateShape[bs[s],0,(π/2),0]}

Definição de vector 3D

V3D[x_,s_:0.5]:=Block[{M=Ω[x]},AffineShape[(Subscript[e, y])[s]/.z_Polygon:>Map[M.#1&,z,{2}]/.z_Line:>Map[M.#1&,z,{2}]/.z_Point:>Map[M.#1&,z,{1}],abs[x] {1,1,1}]]
Vect[v_,x_,s_:0.5]:=TranslateShape[V3D[v,(s/(abs[v]))],x]

NL={z_Polygon:>{EdgeForm[],z}};

Definições de versores ud[(OverVector[v])] dum vector (OverVector[v])

TH=AbsoluteThickness[#1]&;
abs[x_]:=FullSimplify[(Sqrt[x.x])]
ud[x_]:=FullSimplify[(x/(Sqrt[x.x]))]

Construção de rotação (Subscript[(OverVector[e]), y])->(OverVector[u]). Designando por u=|(OverVector[u])| e (OverHat[𝕦])=(1/u)(OverVector[u]) o vector de cosenos directores de (OverVector[u]), precisamos de construir dois vectores auxiliares (OverHat[𝕩]) e (OverHat[𝕫]) que formem um triedro ortonormado com (OverHat[𝕦]), de forma que a matriz Ω=((Subscript[(OverVector[e]), j]^′).(Subscript[(OverVector[e]), i])) defina a rotação pretendida. Assim (OverHat[𝕫])=(OverHat[𝕦])×(Subscript[𝕖, y]) e (OverHat[𝕩])=(OverHat[𝕦])×(OverHat[𝕫]). Usando (Subscript[(OverVector[e]), 1]^′)=(OverHat[𝕩]),(Subscript[(OverVector[e]), 2]^′)=(OverHat[𝕦]),(Subscript[(OverVector[e]), 3]^′)=(OverHat[𝕧]), obtemos Ω.

Ω[{0,y_,0}]:=Sign[y]IdentityMatrix[3];
Ω[u_]:=Block[{𝕦,𝕫,𝕩},{ux,uy,uz}={u[[1]],u[[2]],u[[3]]};𝕦={ux,uy,uz};𝕫={-uz,0,ux};𝕩={ux uy,-(ux^2)-(uz^2),uy uz};𝕊={𝕩,𝕦,𝕫};𝕄=Transpose[(((#1)/(abs[#1]))&)/@𝕊]]

Rotações base

𝕏=(({{1, 0, 0}, {0, 0, -1}, {0, 1, 0}}));                    𝕐=(({{0, 0, -1}, {0, 1, 0}, {1, 0, 0}}));                     ℤ=(({{0, -1, 0}, {1, 0, 0}, {0, 0, 1}}));

Sistema de referência {O,(Subscript[(OverVector[e]), x]),(Subscript[(OverVector[e]), y]),(Subscript[(OverVector[e]), z])}

({{(Subscript[(OverVector[e]), x])={1,0,0};,  , (Subscript[(OverVector[e]), y])={0,1,0};,  , (Subscript[(OverVector[e]), z])={0,0,1};,  , (OverVector[O])={0,0,0}}});

Definições de arcos 2D e 3D

Clear[arc,arc2D]
arc2D[θ1_:0,θ2_:2 π,n_:100]:=Line[Append[Table[{Cos[q],Sin[q]},{q,θ1,θ1+θ2,((θ2)/n)}],{Cos[θ1+θ2],Sin[θ1+θ2]}]]
arc[θ1_:0,θ2_:2 π]:=arc2D[θ1,θ2]/.{x_,y_}:>{x,y,0}

Definições auxiliares; ring, dring, fr, disk,sphere, cyl

<<NumericalMath`SplineFit`

ring=ParametricPlot3D[(({{Cos[φ], Sin[φ], 0}, {-Sin[φ], Cos[φ], 0}, {0, 0, 1}})).{2+.05Cos[θ],0,.05Sin[θ]},{θ,0,2π},{φ,0,2π},PlotRange->1.1{{-2,2},{-2,2},{-2,4}},BoxRatios->{1,1,6/4},Mesh->False,PlotPoints->60,Boxed->False,Axes->None,ImageSize->500];
dring[ϕ_]:=ParametricPlot3D[(({{Cos[φ], -Sin[φ], 0}, {Sin[φ], Cos[φ], 0}, {0, 0, 1}})).{2+.05Cos[θ],0,.05Sin[θ]},{θ,0,2π},{φ,ϕ-π/50,ϕ+π/50},PlotRange->1.1{{-2,2},{-2,2},{-2,4}},BoxRatios->{1,1,6/4},Mesh->True,PlotPoints->5,Boxed->False,Axes->None,ImageSize->500];

fr[d_]:={vect[#,d(Subscript[(OverVector[e]), z]),.75]&/@{(Subscript[(OverVector[e]), x]),(Subscript[(OverVector[e]), y]),(Subscript[(OverVector[e]), z])},Lgd[{#,{0,0,d}+(#-.15(({{0, 1, 1}, {1, 0, 1}, {0, 0, 1}})).ud[#])&[ToExpression[#]]}]&/@{"(Subscript[(OverVector[e]), x])","(Subscript[(OverVector[e]), y])","(Subscript[(OverVector[e]), z])"}}/.vect->Vect;
disk=Graphics3D[Cylinder[{(OverVector[O]),-.1(Subscript[(OverVector[e]), z])},2],PlotRange->1.1{{-2,2},{-2,2},{-1,4}},BoxRatios->{1,1,5/4},Boxed->False,Axes->None,ImageSize->500];
sphere=Graphics3D[{{Opacity[.5],Sphere[(OverVector[O]),2]},Lgd[{"O",(OverVector[O]),{1,0}}]},Boxed->False,ImageSize->500];
frame=Graphics3D[{vect[2#,(OverVector[O]),1]&/@{(Subscript[(OverVector[e]), x]),(Subscript[(OverVector[e]), y]),(Subscript[(OverVector[e]), z])},Lgd[{#,(OverVector[O])+(2#-.2(({{0, 1, 1}, {1, 0, 1}, {1, 1, 0}})).ud[#])&[ToExpression[#]]}]&/@{"(Subscript[(OverVector[e]), x])","(Subscript[(OverVector[e]), y])","(Subscript[(OverVector[e]), z])"}}/.vect->Vect];
cyl[x_]:=Graphics3D[{Opacity[.6],Cylinder[{-.015(Subscript[(OverVector[e]), z]),.015(Subscript[(OverVector[e]), z])},(Sqrt[3.9-(x^2)])]}]
fig=Show@{ring,G3[{Lgd[{"λ=(Q/(2  πR))",2.5(Subscript[(OverVector[e]), y])}],{DX[.01],Line[{(OverVector[O]),-2(Subscript[(OverVector[e]), y])}],Lgd[{"R",-(1.5#+.12ℤ.#)&@(Subscript[(OverVector[e]), y])}]}}]};

Definições Texto

(Subscript[tr, z_]):=Sequence@@{FontFamily->"Times New Roman",FontWeight->Plain,FontSlant->Plain,FontSize->z}
Txt[sty__]:=((Text[style[#1,sty],##2]&)@@##1&)/.style:>Style
txt[z_,x_,off_:{0,0},fntf_:"Times New Roman"]:=Text[StyleForm[z,FontSize->12,FontFamily->fntf],x,off]
Lgd[z__List]:=(Txt[(Subscript[tr, 12])]/@{z})

author={GrayLevel[.83],txt["AJRS-"<>(StringJoin@@ToString/@{
{Jan,Fev,Mar,Abr,Mai,Jun,Jul,Ago,Set,Out,Nov,Dez}[[#[[2]]]]," ",#[[3]],", ",#[[1]]}&@Date[]),{0,0},{0,0},"Times"]};
cprt=(Epilog->Inset[Graphics[author],Scaled[{2.1,.5}],Automatic,Automatic,{0,1}]);
SetOptions[Graphics3D,cprt];

Problema 3.3

Duas esferas condutoras estão ligadas por um longo fio condutor. A carga total é de Q=20×(10^(-6 ))C. Uma esfera tem raio (Subscript[R, 1])=4cm e a outra tem um raio (Subscript[R, 2])=6 cm.

Qual é o campo eléctrico à superfície de cada uma das esferas?

Qual é o potencial eléctrico de cada uma das esferas?

(Subscript[(OverVector[r]), 1])=-2.6(Subscript[(OverVector[e]), x]);               (Subscript[(OverVector[r]), 2])=2.4(Subscript[(OverVector[e]), x]);       (Subscript[R, 1])=.2;            (Subscript[R, 2])=.3;
spp={(Subscript[(OverVector[p]), 1]),(Subscript[(OverVector[p]), 2]),(Subscript[(OverVector[p]), 3]),(Subscript[(OverVector[p]), 4])}/.(Subscript[(OverVector[p]), 1])->((Subscript[(OverVector[r]), 1])+(Subscript[R, 1])ud@((Subscript[(OverVector[e]), z])+(Subscript[(OverVector[e]), x])))/.(Subscript[(OverVector[p]), 4])->((Subscript[(OverVector[r]), 2])+ (Subscript[R, 2])ud@(-(Subscript[(OverVector[e]), x])-.5(Subscript[(OverVector[e]), z])))/.(Subscript[(OverVector[p]), 2])->-1.4(Subscript[(OverVector[e]), x])+.5(Subscript[(OverVector[e]), z])/.(Subscript[(OverVector[p]), 3])->-.5(Subscript[(OverVector[e]), z]);
spline=LI@Table[SplineFunction[Cubic,{0,3},spp,NumericalMath`SplineFit`Private`splineinternal[spp,Cubic]][i]//Sp,{i,0,3,.1}];
G3[{{Opacity[.7],Sphere[(Subscript[(OverVector[r]), 1]),(Subscript[R, 1])],Sphere[(Subscript[(OverVector[r]), 2]),(Subscript[R, 2])]},spline,{LI[{(Subscript[(OverVector[r]), 1]),(Subscript[(OverVector[r]), 1])+(Subscript[R, 1])ud[#]}],Lgd[{"(Subscript[R, 1])",(Subscript[(OverVector[r]), 1])+1.5(Subscript[R, 1])ud[#]},{"(Subscript[q, 1])",(Subscript[(OverVector[r]), 1])-1.5(Subscript[R, 1])ud[#]}],LI[{(Subscript[(OverVector[r]), 2]),(Subscript[(OverVector[r]), 2])+(Subscript[R, 2])ud[#]}],Lgd[{"(Subscript[R, 2])",(Subscript[(OverVector[r]), 2])+1.5(Subscript[R, 2])ud[#]},{"(Subscript[q, 2])",(Subscript[(OverVector[r]), 2])-1.5(Subscript[R, 2])ud[#{-1,-1,1}]}]}&[(Subscript[(OverVector[e]), x])-(Subscript[(OverVector[e]), z])],{DX[.02],LI[{(Subscript[(OverVector[r]), 1]),(Subscript[(OverVector[r]), 2])}],Lgd[{"d",(OverVector[O]),{0,-1}}]}},ImageSize->{600.,185.},ViewPoint->{0,-1,0},PlotRange->{{-3,3},{-1,1},{-1,1}},BoxRatios->{3,1,1},Boxed->False,ViewAngle->.3]

Solução

Qual é a relação entre o campo eléctrico e as superfícies equipotenciais?

Como deve ser o campo eléctrico à superfície de um condutor? E no seu interior?

O que é que isso diz acerca das superfícies equipotenciais?

O que é que a Lei de Gauss permite dizer acerca do campo de uma distribuição de cargas com simetria esférica?

Qual é a relação entre a densidade superficial de carga e o campo eléctrico à superfície de um condutor?

Lembre-se que se (OverVector[a]) for uma constante

∇((1/(\[LeftBracketingBar](OverVector[r])-(OverVector[a])\[RightBracketingBar])))== -(1/((\[LeftBracketingBar](OverVector[r])-(OverVector[a])\[RightBracketingBar])^2))(Subscript[(OverVector[u]), (OverVector[r])-(OverVector[a])])≡-(1/((\[LeftBracketingBar](OverVector[r])-(OverVector[a])\[RightBracketingBar])^3))((OverVector[r])-(OverVector[a]))

Para uma distribuição discreta de cargas, o princípio de superposição e a Lei de Coulomb permitem concluir que o campo eléctrico deriva de um potencial V[(OverVector[r])] através de (OverVector[E])== -∇V onde

V[(OverVector[r])]=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))(∑_i)((Subscript[q, i])/(\[LeftBracketingBar](OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), i])\[RightBracketingBar]))

(OverVector[E])[(OverVector[r])]=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))(∑_i)((Subscript[q, i])/((\[LeftBracketingBar](OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), i])\[RightBracketingBar])^3))((OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), i]))=-∇((1/(4π (Subscript[ϵ, o])))(∑_i)((Subscript[q, i])/(\[LeftBracketingBar](OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), i])\[RightBracketingBar])))

De acordo com o enunciado vamos considerar que a relação entre cargas e distância d  é tal que se podem desprezar os efeitos de influência electrostática duma esfera na outra. Isto significa que podemos considerar que a distribuição superficial de cargas em cada esfera é uniforme, ou seja as densidades superficiais (Subscript[σ, 1]) e (Subscript[σ, 2]) são constantes.

Vimos já pela Lei de Gauss que o campo de uma distribuição de carga com simetria esférica é equivalente ao de uma carga pontual no centro de simetria. Assim o campo à superfície de cada esfera deve ser radial em relacão aos seus centros e com magnitudes respectivamente

(Subscript[E, 1])=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((Subscript[q, 1])/((Subscript[R, 1])^2)) ≡((Subscript[σ, 1])/(Subscript[ϵ, o]))                    ;                          (Subscript[E, 2])=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((Subscript[q, 2])/((Subscript[R, 2])^2))  ≡((Subscript[σ, 2])/(Subscript[ϵ, o]))       ;

Estes campos devem ser derivados dum potencial único V((OverVector[r])) através de (OverVector[E])((OverVector[r]))=-∇V((OverVector[r])), e pelo princípio de superposição podemos escrever, designando por (Subscript[(OverVector[r]), 1]) e (Subscript[(OverVector[r]), 2]) a posição dos centros das esferas,

V[(OverVector[r])]=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((Subscript[q, 1])/(\[LeftBracketingBar](OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), 1])\[RightBracketingBar]))+(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((Subscript[q, 2])/(\[LeftBracketingBar](OverVector[r])-(Subscript[(OverVector[r]), 2])\[RightBracketingBar]))

Uma vez os condutores ligados e em equilíbrio electrostático, o seu potencial à superfície deve ser constante e igual nas duas esferas, (Subscript[V, 1])=(Subscript[V, 2]), já que juntamente com o fio condutor passam a pertencer a uma superfície condutora única.

(Subscript[V, 1])=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))(((Subscript[q, 1])/(Subscript[R, 1]))+((Subscript[q, 2])/d))          ;                                  (Subscript[V, 2])=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))(((Subscript[q, 1])/d)+((Subscript[q, 2])/(Subscript[R, 2])))     ;

Como a carga inicial total se distribui pelas duas esferas deve-se ter, desprezando a que eventualmente ficaria no fio,

Q=(Subscript[q, 1])+(Subscript[q, 2])

Obtemos assim duas equações (Piecewise[{{(Subscript[V, 1])== (Subscript[V, 2])}, {Q== (Subscript[q, 1])+(Subscript[q, 2])}}])  = (Piecewise[{{(Subscript[q, 1]) ((1/(Subscript[R, 1]))-(1/d))== (Subscript[q, 2]) ((1/(Subscript[R, 2]))-(1/d))}, {(Subscript[q, 2])== Q-(Subscript[q, 1])}}])        que podem ser resolvidas para (Subscript[q, 1]) e (Subscript[q, 2]):

(Piecewise[{{(Subscript[q, 1])== ((Q (Subscript[R, 1]) (1-((Subscript[R, 2])/d)))/((Subscript[R, 1])+(Subscript[R, 2]) (1-((2 (Subscript[R, 2]))/d))))}, {(Subscript[q, 2])== ((Q (Subscript[R, 2])(1-((Subscript[R, 1])/d)) )/((Subscript[R, 1])+(Subscript[R, 2]) (1-((2 (Subscript[R, 2]))/d))))}}])

SLV[({{(Subscript[q, 1]) ((1/(Subscript[R, 1]))-(1/d))== (Subscript[q, 2]) ((1/(Subscript[R, 2]))-(1/d))}, {(Subscript[q, 1])== Q-(Subscript[q, 2])}})//Fl,{(Subscript[q, 1]),(Subscript[q, 2])}]//Simplify//Fl//Sub[(d-(Subscript[R, 2])),tsp[d]]//Sub[(d-2(Subscript[R, 2])),tsp[d]]//Sub[ (d-(Subscript[R, 1])),tsp[d]]//Sub[d (Subscript[R, 2])+d (Subscript[R, 1]) (1-((2 (Subscript[R, 2]))/d)),tsp[d]]//TF

({{(Subscript[q, 1])->((Q (Subscript[R, 1]) (1-((Subscript[R, 2])/d)))/((Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 1]) (1-((2 (Subscript[R, 2]))/d))))}, {(Subscript[q, 2])->((Q (1-((Subscript[R, 1])/d)) (Subscript[R, 2]))/((Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 1]) (1-((2 (Subscript[R, 2]))/d))))}})

No limite d≫(Subscript[R, 1]),(Subscript[R, 2]) temos (Piecewise[{{(Subscript[q, 1])== ((Q (Subscript[R, 1]) )/((Subscript[R, 1])+(Subscript[R, 2]) ))}, {(Subscript[q, 2])== ((Q (Subscript[R, 2]) )/((Subscript[R, 1])+(Subscript[R, 2]) ))}}])             ⟹         (Piecewise[{{(Subscript[σ, 1])=(1/(4π ))((Q  )/(((Subscript[R, 1])+(Subscript[R, 2])) (Subscript[R, 1])))}, {(Subscript[σ, 2])=(1/(4π ))((Q  )/(((Subscript[R, 1])+(Subscript[R, 2])) (Subscript[R, 2])))}}])

Assim se obtêm os campos

(Subscript[E, 1])== (1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((Q  (1-((Subscript[R, 2])/d)))/(((Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 1]) (1-((2 (Subscript[R, 2]))/d)))(Subscript[R, 1])))        ->           (Subscript[E, 1])== (1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((Q  )/(((Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 1])) (Subscript[R, 1])))      ;                   (Subscript[E, 2])==(1/(4π (Subscript[ϵ, o]))) ((Q (1-((Subscript[R, 1])/d)) )/(((Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 1]) (1-((2 (Subscript[R, 2]))/d)))(Subscript[R, 2])))          ->          (Subscript[E, 2])==(1/(4π (Subscript[ϵ, o]))) ((Q  )/(((Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 1])) (Subscript[R, 2])))      ;

E o potencial eléctrico comum dos condutores é

(Subscript[V, 1])== (Subscript[V, 2])== (1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((Q (1-(((Subscript[R, 1]) (Subscript[R, 2]))/(d^2))))/( ((Subscript[R, 1]) (1-((2 (Subscript[R, 2]))/d))+ (Subscript[R, 2]))))       ->     (Subscript[V, 1])== (Subscript[V, 2])== (1/(4π (Subscript[ϵ, o])))(Q/( ((Subscript[R, 1]) + (Subscript[R, 2]))))      ;

(Subscript[V, 1])==((1/(4π (Subscript[ϵ, o])))(((Subscript[q, 1])/(Subscript[R, 1]))+((Subscript[q, 2])/d))/.({{(Subscript[q, 1])->((Q (Subscript[R, 1]) (1-((Subscript[R, 2])/d)))/((Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 1]) (1-((2 (Subscript[R, 2]))/d))))}, {(Subscript[q, 2])->((Q (1-((Subscript[R, 1])/d)) (Subscript[R, 2]))/((Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 1]) (1-((2 (Subscript[R, 2]))/d))))}})//FSp)

(Subscript[V, 2])=((1/(4π (Subscript[ϵ, o])))(((Subscript[q, 1])/d)+((Subscript[q, 2])/(Subscript[R, 2]))) /.({{(Subscript[q, 1])->((Q (Subscript[R, 1]) (1-((Subscript[R, 2])/d)))/((Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 1]) (1-((2 (Subscript[R, 2]))/d))))}, {(Subscript[q, 2])->((Q (1-((Subscript[R, 1])/d)) (Subscript[R, 2]))/((Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 1]) (1-((2 (Subscript[R, 2]))/d))))}})//FSp)

No caso concreto deste problema

({{(Subscript[q, 1])==8×(10^(-6))   (* C*)}, {(Subscript[q, 2])==12×(10^(-6))  (* C *)}})

({{(Subscript[q, 1])== ((Q (Subscript[R, 1]) )/((Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 1]) ))}, {(Subscript[q, 2])== ((Q (Subscript[R, 2]) )/((Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 1]) ))}})/.Q->20×(10^(-6))/.(Subscript[R, 1])->4×(10^(-2))/.(Subscript[R, 2])->6.×(10^(-2))//TF

({{(Subscript[E, 1])== 45×(10^6) (* (V/m) *)}, {(Subscript[E, 2])== 30×(10^6)  (* (V/m) *)}})

(Subscript[E, 1])== (1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((Q  )/(((Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 1])) (Subscript[R, 1])))  /.Q->20×(10^(-6))/.(Subscript[R, 1])->4×(10^(-2))/.(Subscript[R, 2])->6.×(10^(-2))/.SIUnits
(Subscript[E, 2])==(1/(4π (Subscript[ϵ, o]))) ((Q  )/(((Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 1])) (Subscript[R, 2])))/.Q->20×(10^(-6))/.(Subscript[R, 1])->4×(10^(-2))/.(Subscript[R, 2])->6.×(10^(-2))/.SIUnits

({{(Subscript[V, 1])==(Subscript[V, 2])==1.79×(10^6)  ,  (* V *)}})

(Subscript[V, 1])==(Subscript[V, 2])== (1/(4π (Subscript[ϵ, o])))(Q/( ((Subscript[R, 1]) + (Subscript[R, 2]))))/.Q->20×(10^(-6))/.(Subscript[R, 1])->4×(10^(-2))/.(Subscript[R, 2])->6.×(10^(-2))/.SIUnits

Apêndice-Influência eléctrica em condutores

Carga pontual na vizinhança de uma esfera condutora

Este problema tem uma solução exacta pelo método das imagens. Escolhendo o eixo (Subscript[(OverVector[e]), z]) coincidente com a linha que une o centro da esfera condutora  de raio a e a carga q, o potencial eléctrico devido à influência dessa carga externa à distância d do centro da esfera condutora pode ser considerado como derivado de uma carga pontual q'=-(a/d)q sobre o eixo (Subscript[(OverVector[e]), z]) à distância b=((a^2)/d) do centro da esfera condutora.

Justifique a afirmação anterior mostrando que é a única maneira de fazer V=0 constante à superfície do condutor.

Se necessário pode-se adicionar uma carga q''  no centro da esfera sem alterar a condição fronteira deste problema que é a de manter a superfície da esfera condutora como uma equipotencial. Assim, se a esfera inicialmente estava isolada com carga total Q, a escolha q''=Q-q' garante que a sua carga se mantenha invariante.  Alternativamente, se a esfera estiver ligada à terra, podemos assumir que o seu potencial é V=0 e q''=0.

Esfera condutora ligada à terra.

Posições e cargas

(Subscript[(OverVector[r]), q])== (OverVector[d])=d(Subscript[(OverVector[e]), z])    ;            (Subscript[(OverVector[r]), q'])==  (OverVector[b])=((a^2)/d)(Subscript[(OverVector[e]), z])       ;         q'=-(a/d)q     ;

O potencial em todo o espaço fora da esfera é equivalente ao das duas cargas q (real) e q' (imagem).

V[(OverVector[r])]==(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((q/(\[LeftBracketingBar](OverVector[r])-(OverVector[d])\[RightBracketingBar]))+((q')/(\[LeftBracketingBar](OverVector[r])-(OverVector[b])\[RightBracketingBar])))

Expressão funcional:

V[r_,θ_]:=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))q((1/(Sqrt[(r^2)+(d^2)-2 r d Cos[θ]]))-((a/d)/(Sqrt[(r^2)+(((((a^2)/d)))^2)-2 r((a^2)/d)Cos[θ]])))

Clear[V]
V0[r_,a_,d_,q_]:=9×(10^9) q((1/(abs[r-d{1,0}]))-((a/d)/(abs[r-(a^2)/d {1,0}])));Module[{𝒱=V0},Manipulate[SH[{cp[Table[𝒱[{x,y},a,d,q]==Exp@i,{i,-5,10,.3}]//Release,{x,-s 8,s 12},{y,-s 10,s 10},MaxRecursion->3,ContourStyle->GrayLevel[0.5`],ContourShading->False,ImageSize->600,Frame->False,PlotRange->s{{-8,12},{-10,10}}]/.cp->ContourPlot,G2[{{vec2[(a/(Sqrt[2])){-1,1},{0,0},.02],vec2[{d,0},{0,0},.02],{bl,vec2[(a/(Sqrt[2])){-1,1}-#,#,.02]&[{d,0}]},{rd,vec2[(a/(Sqrt[2])){-1,1}-#,#,.02]&[((a^2)/d){1,0}]},{LI@(.3#),Lgd[{"θ",.2#[[Length[#]/2]]}]}&[arc2D[0,3π/4][[1]]],
Lgd[{"a",(a/(2(Sqrt[2]))){-1,1},{1,1}},{"d",.5d{1,0},{0,1.5}},{(Underscript[(Underscript[Row[{Spacer[70(a^2)/d]}], ⏟]), "(a^2)/d"])//Release,.5((a^2)/d){1,0},{0,0.75}}],Opacity[.3],Disk[{0,0},a]},TH[2],{rd,Point[#],Lgd[{"q'",#,{0,-1.5}}]}&[((a^2)/d){1,0}],{bl,Point[#],Lgd[{"q",#,{0,-1.5}}]}&[d{1,0}],Point[{0,0}],Lgd[{"O",{0,0},{0,1}}]}]}],{{a,1.89},0,8},{{d,4},1,12},{{q,(10^(-6))},0,(10^(-5)),(10^(-6))},{{s,.4},0,2},ControlPlacement->Left, ContinuousAction->False,SaveDefinitions->True]]

A densidade superficial de carga é σ=(Subscript[ϵ, o])(OverVector[E])·(OverVector[n])= -(Subscript[ϵ, o])(OverVector[n])·∇V[(OverVector[a])], onde (OverVector[n])=(Subscript[(OverVector[e]), r])[θ]  e (OverVector[E])=(OverVector[E])[a,θ] é o campo à superfície da esfera.

Campo Eléctrico:

O campo eléctrico (OverVector[E])[r,θ] no plano φ=0 é o gradiente negativo deste potencial em coordenadas esféricas. Por simetria de rotação em torno do eixo (Subscript[(OverVector[e]), z]) na linha que une as cargas, o potencial no espaço não depende de φ, pelo que (OverVector[E]) não tem componentes segundo (Subscript[(OverVector[e]), φ]).

(OverVector[E])[r,θ]==-∇V[r,θ]== -((Subscript[(OverVector[e]), r])(∂_r)#+(1/(r Sin[θ]))(Subscript[(OverVector[e]), φ])(∂_φ)#+(1/r)(Subscript[(OverVector[e]), θ])(∂_θ)#)&[V[r,θ]]

Expressão funcional:

(OverVector[E])[r_,θ_]:=(q/(4π (Subscript[ϵ, o])))(((r-d Cos[θ])/((((r^2)+(d^2)-2 d r Cos[θ]))^(3/2)))-((((a )/d)(r-((a^2)/d)Cos[θ]))/( ((((r^2)+(((((a^2)/d)))^2)-2 r ((a^2)/d) Cos[θ]))^(3/2))))) (Subscript[(OverVector[e]), r])+(q/(4π (Subscript[ϵ, o])))((d/((((r^2)+(d^2)-2 d r Cos[θ]))^(3/2)))-(((a^3)/((d^2) ))/((((r^2)+(((((a^2)/d)))^2)-2 r ((a^2)/d) Cos[θ]))^(3/2)))) Sin[θ] (Subscript[(OverVector[e]), θ])

(OverVector[E])[a,θ_]:=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((q )/a)(((a^2)-(d^2)  )/((((a^2)+(d^2)-2 a d Cos[θ]))^(3/2))) (Subscript[(OverVector[e]), r])

Plot[(Subscript[ϵ, o])(OverVector[E])[a,θ]/.a->1/.d->4/.q->(10^(-6))/.(Subscript[(OverVector[e]), r])->1//.SIUnits,{θ,-π,π},
PlotRange->{-5×(10^(-8)),(10^(-8))},Frame->True,FrameLabel->{"θ (rad)","σ ((C/(m^2)))"},RotateLabel->False,ImageSize->600,FrameTicks->{{{-π,"-π"},{-π/2,"-π/2"},{0,"0"},{π/2,"π/2"},{π,"π"}},Automatic},GridLines->{{-π,-(π/2),0,(π/2),π},Automatic},PlotStyle->TH[2],AxesStyle->{TH[2],TH[2]}]

Esfera condutora isolada e neutra

Se a esfera condutora estiver isolada e descarregada, então a adição de uma carga q''=-q' no centro da esfera não altera a forma da equipotencial à superfíce da esfera, apenas o seu valor. Assim o potencial  em todo o espaço fora da esfera é equivalente ao das cargas q (real), q' (imagem) e q'' (imagem no centro).

V[(OverVector[r])]==(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((q/(\[LeftBracketingBar](OverVector[r])-(OverVector[d])\[RightBracketingBar]))+((q')/(\[LeftBracketingBar](OverVector[r])-(OverVector[b])\[RightBracketingBar]))+((q'')/(\[LeftBracketingBar](OverVector[r])\[RightBracketingBar])))

Expressão funcional:

V[r_,θ_]:= (q/(4π (Subscript[ϵ, o])))((1/(Sqrt[(r^2)+(d^2)-2 r d Cos[θ]]))-((a/d)/(Sqrt[(r^2)+(((((a^2)/d)))^2)-2 r((a^2)/d)Cos[θ]])) + ((a/d)/r) )

Clear[V]
V1[r_,a_,d_,q_]:=9×(10^9) q((1/(abs[r-d{1,0}]))-((a/d)/(abs[r-(a^2)/d {1,0}]))+((a/d)/(abs[r])));
Module[{𝒱=V1},Manipulate[SH[{cp[Table[𝒱[{x,y},a,d,q]==Exp@i,{i,7.,10,.05}]//Release,{x,-s 8,s 12},{y,-s 10,s 10},MaxRecursion->3,ContourStyle->GrayLevel[0.5`],ContourShading->False,ImageSize->500,Frame->False,PlotRange->s{{-8,12},{-10,10}}]/.cp->ContourPlot,G2[{{GL[.73],Disk[{0,0},a]},{vec2[{d,0},{0,0},.02],{bl,vec2[(a/(Sqrt[2])){-1,1}-#,#,.02]&[{d,0}]},{rd,vec2[(a/(Sqrt[2])){-1,1},{0,0},.02],vec2[(a/(Sqrt[2])){-1,1}-#,#,.02]&[((a^2)/d){1,0}]},{LI@(.3#),Lgd[{"θ",.2#[[Length[#]/2]]}]}&[arc2D[0,3π/4][[1]]],
Lgd[{"a",(a/(2(Sqrt[2]))){-1,1},{1,1}},{"d",.5d{1,0},{0,1.5}},{(Underscript[(Underscript[Row[{Spacer[65(a^2)/d]}], ⏟]), "(a^2)/d"])//Release,.5((a^2)/d){1,0},{0,1}}]},TH[2],{rd,Point[#],Lgd[{"q'",#,{0,-1.5}},{"-q'",{0,0},{1.5,0}}]}&[((a^2)/d){1,0}],{bl,Point[#],Lgd[{"q",#,{0,-1.5}}]}&[d{1,0}],Point[{0,0}],Lgd[{"O",{0,0},{0,1}}]}]}],{{a,1.89},0,8},{{d,4},1,12},{{q,(10^(-6))},0,(10^(-5)),(10^(-6))},{{s,.4},0,2},ControlPlacement->Left, ContinuousAction->False,SaveDefinitions->True]]

A densidade superficial de carga é σ=(Subscript[ϵ, o])(OverVector[E])·(OverVector[n])= -(Subscript[ϵ, o])(OverVector[n])·∇V[(OverVector[a])] onde (OverVector[n])=(Subscript[(OverVector[e]), r])[θ]  e (OverVector[E])=(OverVector[E])[a,θ] é o campo à superfície da esfera.

Campo Eléctrico:

(OverVector[E])[r,θ]==-∇V[r,θ]== -((Subscript[(OverVector[e]), r])(∂_r)#+(1/(r Sin[θ]))(Subscript[(OverVector[e]), φ])(∂_φ)#+(1/r)(Subscript[(OverVector[e]), θ])(∂_θ)#)&[V[r,θ]]

Expressão funcional:

(OverVector[E])[r_,θ_]:=((q )/(4π (Subscript[ϵ, o])))(((a/d)/(r^2))-(((a/d) (r-(((a^2) Cos[θ])/d)))/((((r^2)+(((((a^2)/d)))^2)-2 r((a^2)/d)Cos[θ]))^(3/2)))+(( r-d Cos[θ])/((((r^2)+(d^2)-2 r d Cos[θ]))^(3/2)))) (Subscript[(OverVector[e]), r])+(q/(4π (Subscript[ϵ, o]))) (-(((a^3)/(d^2))/( ((((r^2)+(((((a^2)/d)))^2)-2 r((a^2)/d)Cos[θ]))^(3/2))))+(d/((((r^2)+(d^2)-2 r d Cos[θ]))^(3/2)))) Sin[θ] (Subscript[(OverVector[e]), θ])

(OverVector[E])[a,θ_]:=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))((q )/a)((1/d)-(((d^2)-(a^2))/((((a^2)+(d^2)-2 a d Cos[θ]))^(3/2))))(Subscript[(OverVector[e]), r])

Plot[(Subscript[ϵ, o])(OverVector[E])[a,θ]/.a->1/.d->4/.q->(10^(-6))/.(Subscript[(OverVector[e]), r])->1//.SIUnits//Release,{θ,-π,π},PlotRange->{-3×(10^(-8)),2×(10^(-8))},Frame->True,FrameLabel->{"θ (rad)","σ ((C/(m^2)))"},RotateLabel->False,ImageSize->600,FrameTicks->{{{-π,"-π"},{-π/2,"-π/2"},{0,"0"},{π/2,"π/2"},{π,"π"}},Automatic},GridLines->{{-π,-(π/2),0,(π/2),π},Automatic},PlotStyle->TH[2],AxesStyle->{TH[2],TH[2]}]

Problema 3.4

Determine a capacidade de uma esfera metálica de 0.5 m de diâmetro (no vácuo).

Solução

Como as linhas de campo dum condutor isolado se estendem indefinidamente, podemos considerar que a outra armadura do condensador está infinitamente distante e ao potencial (Subscript[V, ∞])=0. Assim a superfície do condutor funciona como a armadura dum condensador com uma diferença de potencial igual ao potencial constante do condutor.

No caso duma esfera de raio R, e na ausência de outras cargas e campos, a distribuição das cargas à superfície é uniforme com densidade constante σ=(Q/(4π (R^2))).

Vimos já que neste caso o campo gerado pela esfera é equivalente, fora dela, ao de uma carga pontual Q no seu centro. Assim o potencial à superfície deve ser igual a

V=(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))(Q/R)           (* V *)

A capacidade  C de um condensador é definida como a razão entre a carga Q armazenada numa armadura e a queda de potencial 𝒱=V-(Subscript[V, ∞]) suportada pelas armaduras. Neste caso

C== (Q/𝒱)=4π (Subscript[ϵ, o]) R                (* Farad *)

Para o caso presente

C==(1/9)×(10^(-9))× (1/4)=27.8×(10^(-12))  (* Farad *)

C==4π (Subscript[ϵ, o]) R/.SIUnits/.R->1/2

Problema 4.1

Um condensador é feito com duas placas paralelas rectangulares de dimensões 2 cm por 3 cm, que estão separadas por 1 mm de papel. ((Subscript[ϵ, r])=3.7, (Subscript[E, max])=16×(10^6) (V/m))

Qual é a sua capacidade?

Qual é  a carga máxima que pode ser colocada nesse condensador?

G3[{Polygon[{d(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])-2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y])}],Polygon[{2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),-2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y])}],Vect[.5(Subscript[(OverVector[e]), z]),(OverVector[O])],Lgd[{"(SubMinus[(OverVector[n])])",.4(Subscript[(OverVector[e]), z]),{1,0}}],Vect[-.5(Subscript[(OverVector[e]), z]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])],Lgd[{"(SubPlus[(OverVector[n])])",1.4(Subscript[(OverVector[e]), z]),{1,0}}],Vect[-(Subscript[(OverVector[e]), z]),1.2(Subscript[(OverVector[e]), z])+(Subscript[(OverVector[e]), x])],Lgd[{"(OverVector[E])",.5(Subscript[(OverVector[e]), z])+(Subscript[(OverVector[e]), x]),{2,0}}],Lgd[{"(SubPlus[σ])",d(Subscript[(OverVector[e]), z])+(Subscript[(OverVector[e]), x])},{"(SubMinus[σ])",+(Subscript[(OverVector[e]), x])},{"A",d(Subscript[(OverVector[e]), z])-(Subscript[(OverVector[e]), x])-(Subscript[(OverVector[e]), y])},{"A",-(Subscript[(OverVector[e]), x])-(Subscript[(OverVector[e]), y])}],DX[.02], LI[{1.1(2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y])),1.1(2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]))+d(Subscript[(OverVector[e]), z])}],Lgd[{"d",1.1(2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]))+.5d(Subscript[(OverVector[e]), z]),{1,0}}], Opacity[.5],GraphicsComplex[{d(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])-2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),-2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y])},Polygon[{{1,5,6,2},{1,5,8,4},{6,2,3,7},{8,4,3,7}}]]},ImageSize->{600.,385.},ViewPoint->{0,4,0},(* PlotRange->{{-3,3},3{-1,1},3{-1,1}},*)BoxRatios->{3,3,1}, Boxed->False,ViewAngle->.2]/.d->1.5

Solução

Alinea a)

O campo à superfície de um plano uniforme de carga é semelhante ao do centro de um disco carregado com densidade superficial σ, que vimos já ser orientado na direcção (OverVector[n]) normal à superfície:

(Subscript[(OverVector[E]), s])=(σ/(2ϵ))(OverVector[n])

Num condensador plano, desprezando os efeitos fronteira, desde que a separação d entre as armaduras seja pequena comparada com as dimensões lineares desta, ou seja d≪(Sqrt[A]), podemos considerar que o campo no seu interior é  constante e igual à sobreposição dos campos das duas armaduras, com cargas Q e -Q que se distribuem sobre a área A em cada armadura.

(SubPlus[σ])=-(SubMinus[σ])=(Q/A)

Dentro do condensador a permitividade eléctrica é ϵ=(Subscript[ϵ, r])(Subscript[ϵ, o]), e as normais às armaduras são opostas, (SubPlus[(OverVector[n])])==-(SubMinus[(OverVector[n])]), pelo que os campos se adicionam devido à polaridade diferente das cargas

(OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), int])]== (SubPlus[(OverVector[E])])[(Subscript[(OverVector[r]), int])]+(SubMinus[(OverVector[E])])[(Subscript[(OverVector[r]), int])]==  ((SubPlus[σ])/(2ϵ))(SubPlus[(OverVector[n])])+((SubMinus[σ])/(2ϵ))(SubMinus[(OverVector[n])])== (Q/(ϵ A))(SubPlus[(OverVector[n])])

Como deve ser o campo fora do condensador e na sua vizinhança?

Conhecido o campo (OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), int])] podemos determinar o potencial V[(Subscript[(OverVector[r]), int])] que lhe está associado através de (OverVector[E])[(Subscript[(OverVector[r]), int])]=-∇V[(Subscript[(OverVector[r]), int])]. Neste caso, fazendo (SubPlus[(OverVector[n])])=-(Subscript[(OverVector[e]), z]), obtemos imediatamente

V[z (Subscript[(OverVector[e]), z])]=(Q/(ϵ A))z+(Subscript[V, o])

A queda de potencial entre as armaduras separadas por uma distância d é assim

𝒱=V[d(Subscript[(OverVector[e]), z])]-(Subscript[V, o])=(Q/(ϵ A))d

A capacidade do condensador é pela definição

C== (Q/𝒱)== ((ϵ A)/d)

No caso concreto deste problema

dims=(Piecewise[{{d->(10^(-3))    , m}, {A-> 6×(10^(-4))        , (m^2)}, {ϵ->((3.7 )/(36π))×(10^(-9))  , ((A s)/(m V))}}])                                                        //#[[1]]\[Transpose][[1]]&;

C== ((3.7 ×(10^(-9)) ×6×(10^(-4)))/(36π×(10^(-3))))=19.6×(10^(-12)) (* Farad *)

C== ((ϵ A)/d)/.dims

Alínea b)

O papel é um dielétrico que resiste à condução para campos inferiores a um máximo (Subscript[E, max]), designado campo de rotura, a partir do qual o papel permite o fluxo de corrente entre as duas armaduras, descarregando-as efectivamente. Sabendo que a relação entre a densidade superficial de carga e o campo é ϵ E=σ, obtemos no máximo

(Subscript[σ, max])=ϵ (Subscript[E, max])

(Subscript[Q, max])=ϵ (Subscript[E, max])A

Para o caso concreto do papel com (Subscript[E, max])=16×(10^6) (V/m) obtemos

(Subscript[Q, max])==314×(10^(-9))    (* C *)

(Subscript[Q, max])== ϵ (Subscript[E, max])A/.dims/.(Subscript[E, max])-> 16×(10^6)