Electromagnetismo e Óptica (LEIC)
1ºSem. 2007/2008
http://fisica.ist.utl.pt/~leic_f2

Definições iniciais

Definições Globais

SetDirectory[DirectoryName["WindowTitle"/.NotebookInformation[InputNotebook[]]]];

If[Cases[Contexts[],"Notation`"]=={},Get["Notation`"],NotebookClose[Notebooks[]//Cases[#,z_NotebookObject/;StringMatchQ[ToString[z],"*Notation*"]][[1]]&]]

SetOptions[SelectedNotebook[],WindowSize->{1400,900}];

Off[General::"spell1",General::"obspkg",Graphics`Graphics3D`ListSurfacePlot3D::"shdw",Graphics`Shapes`RotateShape::"shdw",General::"newpkg",Symbolize::"bsymbexs"];

SIUnits=({{(Subscript[q, e])-> -1.602176462 ×(10^(-19))   (* Coulomb *), Carga do Electrão	}, {(Subscript[ϵ, o])->8.854187817×(10^(-12))      (* ((Ampere Segundo)/(Metro Volt)) *), Permitividade  eléctrica do vácuo.}, {(1/(4π (Subscript[ϵ, o])))-> (10^(-7))×(c^2)    (* ≈ 9×(10^9) ((Metro Volt)/(Ampere Segundo)) *), Constante Eléctrica	}, {c->299792458    (* (Metro/Segundo) *), Velocidade da luz  no vácuo.}})\[Transpose][[1]];

({{Symbolize[(Subscript[m, _])], Symbolize[(Subscript[(OverVector[u]), _]) ], Symbolize[(Subscript[(OverVector[v]), _])], Symbolize[(_)'], Symbolize[(OverVector[R])], Symbolize[(OverVector[r])], Symbolize[(OverVector[v])], Symbolize[(OverVector[V])], Symbolize[(Subscript[(OverVector[𝕖]), _])]}, {Symbolize[(Subscript[ϵ, o])], Symbolize[(Subscript[μ, o])], Symbolize[(OverVector[E])], Symbolize[(OverVector[F])], \[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder]}});

Definições Gráficas

As minhas definições gráficas:

<<Graphics`Shapes`

SetOptions[Manipulator,{ImageSize->Tiny,AppearanceElements->{ "InputField"}}];

G2=Graphics;
G3=Graphics3D;
TS=TranslateShape;
RS=RotateShape;
LI=Line;
DX=Dashing[{#1,#1,#1}]&;
rd=Red;bl=Blue;gr=Green;
Clear[AS];
AS[sh_,sc_]:=AffineShape[sh,sc]/.Point[z_]:>Point[z sc]

Repõe a definição de Sphere do sistema

Unprotect[Graphics`Shapes`Sphere];Remove[Graphics`Shapes`Sphere]
Unprotect[Sphere];Sphere=System`Sphere;

Definição de seta 2D usando o vector e o ponto base como argumentos.

vec2[x_,y_,s_:.1]:={Arrowheads[s],Arrow[{y,y+x}]}

Redefinição dos cones e bases dos vectores 3D de 10 para 6 arestas.

bs[s_]:=TranslateShape[AffineShape[Cone[0.05,0,6],{s,s,s}],{0,0,1-0.2 s}]
cn[s_]:=TranslateShape[AffineShape[Cone[0.05,0.1,6],{s,s,s}],{0,0,1-0.1 s}]

Protótipo de vector unitário (Subscript[(OverVector[e]), y])

(Subscript[e, y])[s_:.5]:={Line[{{0,0,0},{0,1-s .2,0}}],RotateShape[cn[s],0,(π/2),0],RotateShape[bs[s],0,(π/2),0]}

Definição de vector 3D

V3D[x_,s_:0.5]:=Block[{M=Ω[x]},AffineShape[(Subscript[e, y])[s]/.z_Polygon:>Map[M.#1&,z,{2}]/.z_Line:>Map[M.#1&,z,{2}]/.z_Point:>Map[M.#1&,z,{1}],abs[x] {1,1,1}]]
Vect[v_,x_,s_:0.5]:=TranslateShape[V3D[v,(s/(abs[v]))],x]

NL={z_Polygon:>{EdgeForm[],z}};

Definições de versores ud[(OverVector[v])] dum vector (OverVector[v])

TH=AbsoluteThickness[#1]&;
abs[x_]:=FullSimplify[(Sqrt[x.x])]
ud[x_]:=FullSimplify[(x/(Sqrt[x.x]))]

Construção de rotação (Subscript[(OverVector[e]), y])->(OverVector[u]). Designando por u=|(OverVector[u])| e (OverHat[𝕦])=(1/u)(OverVector[u]) o vector de cosenos directores de (OverVector[u]), precisamos de construir dois vectores auxiliares (OverHat[𝕩]) e (OverHat[𝕫]) que formem um triedro ortonormado com (OverHat[𝕦]), de forma que a matriz Ω=((Subscript[(OverVector[e]), j]^′).(Subscript[(OverVector[e]), i])) defina a rotação pretendida. Assim (OverHat[𝕫])=(OverHat[𝕦])×(Subscript[𝕖, y]) e (OverHat[𝕩])=(OverHat[𝕦])×(OverHat[𝕫]). Usando (Subscript[(OverVector[e]), 1]^′)=(OverHat[𝕩]),(Subscript[(OverVector[e]), 2]^′)=(OverHat[𝕦]),(Subscript[(OverVector[e]), 3]^′)=(OverHat[𝕧]), obtemos Ω.

Ω[{0,y_,0}]:=Sign[y]IdentityMatrix[3];
Ω[u_]:=Block[{𝕦,𝕫,𝕩},{ux,uy,uz}={u[[1]],u[[2]],u[[3]]};𝕦={ux,uy,uz};𝕫={-uz,0,ux};𝕩={ux uy,-(ux^2)-(uz^2),uy uz};𝕊={𝕩,𝕦,𝕫};𝕄=Transpose[(((#1)/(abs[#1]))&)/@𝕊]]

Rotações base

𝕏=(({{1, 0, 0}, {0, 0, -1}, {0, 1, 0}}));                    𝕐=(({{0, 0, -1}, {0, 1, 0}, {1, 0, 0}}));                     ℤ=(({{0, -1, 0}, {1, 0, 0}, {0, 0, 1}}));

Sistema de referência {O,(Subscript[(OverVector[e]), x]),(Subscript[(OverVector[e]), y]),(Subscript[(OverVector[e]), z])}

({{(Subscript[(OverVector[e]), x])={1,0,0};,  , (Subscript[(OverVector[e]), y])={0,1,0};,  , (Subscript[(OverVector[e]), z])={0,0,1};,  , (OverVector[O])={0,0,0}}});

Definições de arcos 2D e 3D

Clear[arc,arc2D]
arc2D[θ1_:0,θ2_:2 π,n_:100]:=Line[Append[Table[{Cos[q],Sin[q]},{q,θ1,θ1+θ2,((θ2)/n)}],{Cos[θ1+θ2],Sin[θ1+θ2]}]]
arc[θ1_:0,θ2_:2 π]:=arc2D[θ1,θ2]/.{x_,y_}:>{x,y,0}

Definições auxiliares;cyl,cond,halCyl,tube,conn

cyl[x_]:=Graphics3D[{Opacity[.6],Cylinder[{-.015(Subscript[(OverVector[e]), z]),.015(Subscript[(OverVector[e]), z])},(Sqrt[3.9-(x^2)])]}]
cond=G3[{Polygon[{d(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])-2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y])}],
Polygon[{2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),-2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y])}],
Vect[.5(Subscript[(OverVector[e]), z]),(OverVector[O])],Lgd[{"(SubMinus[(OverVector[n])])" ,.4(Subscript[(OverVector[e]), z]),{1,0}}],Vect[-.5(Subscript[(OverVector[e]), z]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])],Lgd[{"(SubPlus[(OverVector[n])])",(d-.4)(Subscript[(OverVector[e]), z]),{1,0}}],
{Vect[-.6(Subscript[(OverVector[e]), z]),(#1-.4)(Subscript[(OverVector[e]), z])+#2(Subscript[(OverVector[e]), x])],Lgd[{"(Subscript[(OverVector[E]), ar])",(#1-.6)(Subscript[(OverVector[e]), z])+#2(Subscript[(OverVector[e]), x]),{2,0}}]}&@@#&/@{{d,1},{s,1}},{Vect[-.4(Subscript[(OverVector[e]), z]),(#1-.4)(Subscript[(OverVector[e]), z])+#2(Subscript[(OverVector[e]), x])],Lgd[{"(Subscript[(OverVector[E]), ny])",(#1-.5)(Subscript[(OverVector[e]), z])+#2(Subscript[(OverVector[e]), x]),{2,0}}]}&@@#&/@{{d-s,1}},
Lgd[{"(SubPlus[σ])",1.02d(Subscript[(OverVector[e]), z])+.5(Subscript[(OverVector[e]), x])},{"(SubMinus[σ])",+.5(Subscript[(OverVector[e]), x])},{"A",1.02d(Subscript[(OverVector[e]), z])-.5(Subscript[(OverVector[e]), x])},{"A",-.5(Subscript[(OverVector[e]), x])},{"(Subscript[σ, (SubMinus[pol])])",1.02(d-s)(Subscript[(OverVector[e]), z])+.5(Subscript[(OverVector[e]), x])},{"(Subscript[σ, (SubPlus[pol])])",.98(s)(Subscript[(OverVector[e]), z])+.5(Subscript[(OverVector[e]), x])}],
DX[.01], LI[{1.01(2(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y])),1.01(2(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y]))+d(Subscript[(OverVector[e]), z])}],Lgd[{"d",1.01(2(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y]))+.5d(Subscript[(OverVector[e]), z]),{2,0}}], 
LI[{1.01(-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y])+s(Subscript[(OverVector[e]), z])),1.01(-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y]))+(d-s)(Subscript[(OverVector[e]), z])}],Lgd[{"s",1.01(-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y])+(d-s)(Subscript[(OverVector[e]), z]))-.5s(Subscript[(OverVector[e]), z]),{-2,0}}], 
Opacity[.5],Yellow,
GraphicsComplex[{(d-s)(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),(d-s)(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),(d-s)(Subscript[(OverVector[e]), z])-2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),(d-s)(Subscript[(OverVector[e]), z])-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),
s(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),s(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),s(Subscript[(OverVector[e]), z])+-2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),s(Subscript[(OverVector[e]), z])+-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y])},Polygon[{{1,5,6,2},{1,5,8,4},{6,2,3,7},{8,4,3,7},Rg[4],4+Rg[4]}]]}]/.d->3/.s->1;
aircond[X_]:=G3[{Polygon[{d(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(.99-2X)(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(.99-2X)(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])-2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y])}],
Polygon[{2(.99-2X)(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),2(.99-2X)(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),-2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y])}],
{Vect[((.3)/(abs[(Subscript[(OverVector[E]), 1])[0]]))(Subscript[(OverVector[E]), 2])[1-X],(#1-.4)(Subscript[(OverVector[e]), z])- 2X(Subscript[(OverVector[e]), x])],Lgd[{"(Subscript[(OverVector[E]), 2])(x)",(#1-.6)(Subscript[(OverVector[e]), z])-2X(Subscript[(OverVector[e]), x]),{2,0}}]}&/@{d,d-s,s},(* {Vect[-.6(Subscript[(OverVector[e]), z]),(#1-.4)(Subscript[(OverVector[e]), z])-2X(Subscript[(OverVector[e]), x])],Lgd[{"(Subscript[(OverVector[E]), 2])",(#1-.5)(Subscript[(OverVector[e]), z])-2X(Subscript[(OverVector[e]), x]),{2,0}}]}&@@#&/@{}, *)
Lgd[{"(Subscript[σ, 2])(x)_(+)    (Subscript[A, 2])(x)",1.02d(Subscript[(OverVector[e]), z])-2X(Subscript[(OverVector[e]), x])+1/2(Subscript[(OverVector[e]), y])},{" (Subscript[σ, 2])(x)_(-)    (Subscript[A, 2])(x)",-2X(Subscript[(OverVector[e]), x])+1/2(Subscript[(OverVector[e]), y])}],
DX[.01], LI[{1.02(-2(Subscript[(OverVector[e]), x])-2.9(Subscript[(OverVector[e]), y]))+d(Subscript[(OverVector[e]), z]),1.02(-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y]))+d(Subscript[(OverVector[e]), z])}],Lgd[{"ℓ",1.02(-2(Subscript[(OverVector[e]), x]))+d(Subscript[(OverVector[e]), z]),{-2,-1}}], LI[{(-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y])+d(Subscript[(OverVector[e]), z]))-.1(Subscript[(OverVector[e]), z]),(2(.99-2X)(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y])+d(Subscript[(OverVector[e]), z]))-.1(Subscript[(OverVector[e]), z])}],Lgd[{"x",1.02(-2X(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y])+d(Subscript[(OverVector[e]), z]))-.1(Subscript[(OverVector[e]), z]),{0,1}}],
LI[{(-2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3.1(Subscript[(OverVector[e]), y]))+1.01d(Subscript[(OverVector[e]), z]),(2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3.1(Subscript[(OverVector[e]), y]))+1.01d(Subscript[(OverVector[e]), z])}],Lgd[{"𝒸",1.02(0(Subscript[(OverVector[e]), x])-3.(Subscript[(OverVector[e]), y]))+d(Subscript[(OverVector[e]), z]),{0,-1}}]}]/.d->3/.s->1;

nycond[X_]:=G3[{Polygon[{d(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])-2(1-2X)(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])-2(1-2X)(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y])}],
Polygon[{2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),-2(1-2X)(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),-2(1-2X)(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y])}] , 
{Vect[((.3)/(abs[(Subscript[(OverVector[E]), 1])[0]]))(Subscript[(OverVector[E]), 1])[X],(#1-.2)(Subscript[(OverVector[e]), z])+#2(Subscript[(OverVector[e]), x])],Lgd[{"(Subscript[(OverVector[E]), 1])(x)",(#1-.5)(Subscript[(OverVector[e]), z])+#2(Subscript[(OverVector[e]), x]),{2,0}}]}&@@#&/@{{d,2X},{s,2X}},{Vect[((.3/3.4)/(abs[(Subscript[(OverVector[E]), 1])[0]]))(Subscript[(OverVector[E]), 1])[X],(#1-.4)(Subscript[(OverVector[e]), z])+#2(Subscript[(OverVector[e]), x])],Lgd[{"(Subscript[(OverVector[E]), ny])(x)",(#1-.5)(Subscript[(OverVector[e]), z])+#2(Subscript[(OverVector[e]), x]),{2,0}}]}&@@#&/@{{d-s,2X}} , 
{Opacity[.5],Yellow,
GraphicsComplex[{(d-s)(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),(d-s)(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),(d-s)(Subscript[(OverVector[e]), z])-2(1-2X)(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),(d-s)(Subscript[(OverVector[e]), z])-2(1-2X)(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),
s(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),s(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),s(Subscript[(OverVector[e]), z])-2(1-2X)(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),s(Subscript[(OverVector[e]), z])-2(1-2X)(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y])},Polygon[{{1,5,6,2},{1,5,8,4},{6,2,3,7},{8,4,3,7},Rg[4],4+Rg[4]}]]} ,
Lgd[{"(SubPlus[σ])",1.02d(Subscript[(OverVector[e]), z])+(2X+.15)(Subscript[(OverVector[e]), x])},{"(SubMinus[σ])",(2X+.15)(Subscript[(OverVector[e]), x])},{"A",1.02d(Subscript[(OverVector[e]), z])+(2X-.15)(Subscript[(OverVector[e]), x])},{"A",+(2X-.15)(Subscript[(OverVector[e]), x])},{"(Subscript[σ, (SubMinus[pol])])",1.02(d-s)(Subscript[(OverVector[e]), z])+2X(Subscript[(OverVector[e]), x])},{"(Subscript[σ, (SubPlus[pol])])",.98(s)(Subscript[(OverVector[e]), z])+2X(Subscript[(OverVector[e]), x])}],
DX[.01], LI[{1.01(2(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y])),1.01(2(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y]))+d(Subscript[(OverVector[e]), z])}],Lgd[{"d",1.01(2(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y]))+.5d(Subscript[(OverVector[e]), z]),{2,0}}], 
LI[{1.01(-2(1-2X)(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y])+s(Subscript[(OverVector[e]), z])),1.01(-2(1-2X)(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y]))+(d-s)(Subscript[(OverVector[e]), z])}],Lgd[{"s",1.01(-2(1-2X)(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y])+(d-s)(Subscript[(OverVector[e]), z]))-.5s(Subscript[(OverVector[e]), z]),{-2,0}}] }]/.d->3/.s->1;


halfCyl=G3[{Polygon[arc[0.,π][[1]]],Polygon[TS[arc[0,π],(Subscript[(OverVector[e]), z])][[1]]],Polygon[{(Subscript[(OverVector[e]), x]),(Subscript[(OverVector[e]), x])+(Subscript[(OverVector[e]), z]),-(Subscript[(OverVector[e]), x])+(Subscript[(OverVector[e]), z]),-(Subscript[(OverVector[e]), x])}], ParametricPlot3D[{Cos[φ],Sin[φ],z},{φ,0,π},{z,0,1},Mesh->False][[1]]},Boxed->False]/.NL;
Cyl=G3[{Polygon[TS[arc[0.,2π],(Subscript[(OverVector[e]), z])][[1]]],Polygon[TS[arc[0,2π],2(Subscript[(OverVector[e]), z])][[1]]],ParametricPlot3D[{Cos[φ],Sin[φ],z},{φ,0,2π},{z,1,2},Mesh->False][[1]]},Boxed->False]/.NL;
tube=G3[AS[{halfCyl[[1]],{#,RS[#,0,0,π]}&@TS[halfCyl[[1]],(Subscript[(OverVector[e]), z])]},.1{1,1,1}]];
conn=AS[TS[RS[tube[[1]],0,-π/2,0],+.1(Subscript[(OverVector[e]), y])+1.5(Subscript[(OverVector[e]), x])+(Subscript[(OverVector[e]), z])],{1,5,1}];

Definições Texto

(Subscript[tr, z_]):=Sequence@@{FontFamily->"Times New Roman",FontWeight->Plain,FontSlant->Plain,FontSize->z}
Txt[sty__]:=((Text[style[#1,sty],##2]&)@@##1&)/.style:>Style
txt[z_,x_,off_:{0,0},fntf_:"Times New Roman"]:=Text[StyleForm[z,FontSize->12,FontFamily->fntf],x,off]
Lgd[z__List]:=(Txt[(Subscript[tr, 12])]/@{z})

author={GrayLevel[.83],txt["AJRS-"<>(StringJoin@@ToString/@{
{Jan,Fev,Mar,Abr,Mai,Jun,Jul,Ago,Set,Out,Nov,Dez}[[#[[2]]]]," ",#[[3]],", ",#[[1]]}&@Date[]),{0,0},{0,0},"Times"]};
cprt=(Epilog->Inset[Graphics[author],Scaled[{2.1,.5}],Automatic,Automatic,{0,1}]);
SetOptions[Graphics3D,cprt];

Problema 4.4

Um condensador de placas paralelas tem uma área A=0.1 (m^2) e uma distância entre placas de d=3 mm. A meio no seu interior está uma placa de nylon de espessura s=1 mm. A constante dielétrica relativa do nylon é (Subscript[ϵ, r])=3.4, e suporta um campo eléctrico máximo de 14×(10^6)  (V/m).  A constante dielétrica relativa do ar é (Subscript[ϵ, r])=1.00059∼1 e suporta um campo eléctrico máximo de 3×(10^6)  (V/m). Uma das armaduras tem uma carga Q=1.5×(10^(-8)) C (a outra tem uma carga -Q).

Calcule o campo eléctrico no ar e no nylon dentro do condensador.

Qual é a capacidade do condensador?

Qual é a energia armazenada nesse condensador?

Qual é a maior carga que esse condensador pode armazenar sem correr riscos de uma descarga?

Estando o condensador em circuito aberto, o que acontece à diferença de potencial entre as armaduras quando a placa de nylon é retirada?

Qual é o trabalho que é preciso efectuar para retirar essa placa de nylon?

G3[{Polygon[{d(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])-2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y])}],
Polygon[{2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),-2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y])}],
Vect[.5(Subscript[(OverVector[e]), z]),(OverVector[O])],Lgd[{"(SubMinus[(OverVector[n])])",.4(Subscript[(OverVector[e]), z]),{1,0}}],Vect[-.5(Subscript[(OverVector[e]), z]),d(Subscript[(OverVector[e]), z])],Lgd[{"(SubPlus[(OverVector[n])])",(d-.4)(Subscript[(OverVector[e]), z]),{1,0}}],
{Vect[-.6(Subscript[(OverVector[e]), z]),(#1-.4)(Subscript[(OverVector[e]), z])+#2(Subscript[(OverVector[e]), x])],Lgd[{"(Subscript[(OverVector[E]), ar])",(#1-.6)(Subscript[(OverVector[e]), z])+#2(Subscript[(OverVector[e]), x]),{2,0}}]}&@@#&/@{{d,1},{d,-1},{s,1},{s,-1}},{Vect[-.5(Subscript[(OverVector[e]), z]),(#1-.4)(Subscript[(OverVector[e]), z])+#2(Subscript[(OverVector[e]), x])],Lgd[{"(Subscript[(OverVector[E]), ny])",(#1-.5)(Subscript[(OverVector[e]), z])+#2(Subscript[(OverVector[e]), x]),{2,0}}]}&@@#&/@{{d-s,1},{d-s,-1}},
Lgd[{"(SubPlus[σ])",d(Subscript[(OverVector[e]), z])+.5(Subscript[(OverVector[e]), x])},{"(SubMinus[σ])",+.5(Subscript[(OverVector[e]), x])},{"A",d(Subscript[(OverVector[e]), z])-.5(Subscript[(OverVector[e]), x])-(Subscript[(OverVector[e]), y])},{"A",-.5(Subscript[(OverVector[e]), x])-(Subscript[(OverVector[e]), y])}],
DX[.01], LI[{1.01(2(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y])),1.01(2(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y]))+d(Subscript[(OverVector[e]), z])}],Lgd[{"d",1.01(2(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y]))+.5d(Subscript[(OverVector[e]), z]),{2,0}}], 
LI[{1.01(-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y])+s(Subscript[(OverVector[e]), z])),1.01(-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y]))+(d-s)(Subscript[(OverVector[e]), z])}],Lgd[{"s",1.01(-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+2.9(Subscript[(OverVector[e]), y])+(d-s)(Subscript[(OverVector[e]), z]))-.5s(Subscript[(OverVector[e]), z]),{-2,0}}], 
Opacity[.5],Yellow,
GraphicsComplex[{(d-s)(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),(d-s)(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),(d-s)(Subscript[(OverVector[e]), z])-2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),(d-s)(Subscript[(OverVector[e]), z])-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),
s(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y]),s(Subscript[(OverVector[e]), z])+2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),s(Subscript[(OverVector[e]), z])+-2(Subscript[(OverVector[e]), x])-3(Subscript[(OverVector[e]), y]),s(Subscript[(OverVector[e]), z])+-2(Subscript[(OverVector[e]), x])+3(Subscript[(OverVector[e]), y])},Polygon[{{1,5,6,2},{1,5,8,4},{6,2,3,7},{8,4,3,7},Rg[4],4+Rg[4]}]]},ImageSize->1.3{800,300},ViewPoint->{0,43,1},BoxRatios->{6,6,3}, Boxed->False,ViewAngle->.009,PlotRange->{{-3,3},{-3,3},{-2,5}},ImageMargins->{{-100,1},{0,1}}(* ViewPoint->{0,6,.4},(* PlotRange->{{-3,3},3{-1,1},3{-1,1}},*)BoxRatios->{2,3,1}, Boxed->False,ViewAngle->.08 *)]/.d->3/.s->1

dims=(Piecewise[{{A->0.1, (m^2)}, {d->3×(10^(-3)), m}, {Q->1.5×(10^(-8)), C}, {s->(10^(-3)), m}, {(Subscript[ϵ, r])->3.4,  }, {(Subscript[E, (Subscript[ny, max])])->14×(10^6), (V/m)}, {(Subscript[E, (Subscript[ar, max])])->3×(10^6), (V/m)}}])                 //#[[1]]\[Transpose][[1]]&;

Calcule o campo eléctrico no ar e no nylon dentro do condensador.

Como deve variar o campo eléctrico (OverVector[E]) ao passar do ar para o nylon?

(Subscript[(OverVector[E]), ny])== (Subscript[(OverVector[E]), ar])+(Subscript[(OverVector[E]), pol])

Como deve variar o campo de deslocamento eléctrico (OverVector[D]) ao passar do ar para o nylon?

((Subscript[(OverVector[D]), ar])-(Subscript[(OverVector[D]), ny]))·(SubPlus[(OverVector[n])])==0 	- note-	A componente normal de (OverVector[D]) à fronteira ar-nylon é invariante.	;

Qual é a relação entre (OverVector[P]) e o deslocamento eléctrico (Subscript[(OverVector[D]), ny])?

(Subscript[(OverVector[D]), ny])== (Subscript[ϵ, o])(Subscript[(OverVector[E]), ny])+(OverVector[P])

Qual é a relação entre (OverVector[P]) e o campo eléctrico (Subscript[(OverVector[E]), ny])?

(OverVector[P])== (ϵ-(Subscript[ϵ, o]))(Subscript[(OverVector[E]), ny])== (Subscript[χ, e]) (Subscript[ϵ, o])(Subscript[(OverVector[E]), ny])  	- note-	(Subscript[χ, e])=(Subscript[ϵ, r])-1  é a Permitividade Eléctrica do dielétrico.	;

Qual é a relação entre a densidade das cargas superficiais de polarização (Subscript[σ, pol]) e a polarização (OverVector[P])?

(SubPlus[(Subscript[σ, pol])])== (OverVector[P])·(SubPlus[(OverVector[n])])== (Subscript[σ, c])(1-(1/(Subscript[ϵ, r])))	- note-	(Subscript[σ, c])=(SubPlus[σ]) representa apenas cargas livres de condução .	;

Em que sentido aponta o campo (Subscript[(OverVector[E]), pol]) de polarização? E o vector de polarização (OverVector[P])?

(OverVector[P])  //   (OverVector[D])    //  -(Subscript[(OverVector[E]), pol   ])	- note-	para dielétricos Lineares, Homogéneos e Isotrópicos. (LHI)	;

Manipulate[SH[{cond,G3[{If[showG,{{Opacity[.35],Cylinder[#,.2],TS[Cone[0.2,0,10],#]&/@#}&@{(d+.1)(Subscript[(OverVector[e]), z])-(Subscript[(OverVector[e]), x]),(d-Z)(Subscript[(OverVector[e]), z])-(Subscript[(OverVector[e]), x])}/.NL,
If[Z>d-s||Z<s,If[Z≤ 3,{Vect[-.6(Subscript[(OverVector[e]), z]),(#1)(Subscript[(OverVector[e]), z])+#2(Subscript[(OverVector[e]), x])],Lgd[{"(Subscript[(OverVector[E]), ar])",(#1-.2)(Subscript[(OverVector[e]), z])+#2(Subscript[(OverVector[e]), x]),{2,0}}]}&[d-Z,-1],{}],{Vect[-.4(Subscript[(OverVector[e]), z]),(#1)(Subscript[(OverVector[e]), z])+#2(Subscript[(OverVector[e]), x])],Lgd[{"(Subscript[(OverVector[E]), ny])",(#1-.2)(Subscript[(OverVector[e]), z])+#2(Subscript[(OverVector[e]), x]),{2,0}}]}&[d-Z,-1]],
Lgd[{"ΔS",(d+.1)(Subscript[(OverVector[e]), z])-(Subscript[(OverVector[e]), x]),{0,-2}}],
{DX[.01],LI/@{{-1.2(Subscript[(OverVector[e]), x]),(d-Z)(Subscript[(OverVector[e]), z])-1.2(Subscript[(OverVector[e]), x])}},Lgd[{"z",.5(d-Z)(Subscript[(OverVector[e]), z])-1.2(Subscript[(OverVector[e]), x]),{2,0}}]}},{}],
If[showD,{{Vect[-.6(Subscript[(OverVector[e]), z]),(#1-.4)(Subscript[(OverVector[e]), z])-#2(Subscript[(OverVector[e]), x])],Lgd[{"(1/(Subscript[ϵ, o]))(Subscript[(OverVector[D]), ar])",(#1-.6)(Subscript[(OverVector[e]), z])-#2(Subscript[(OverVector[e]), x]),{2,0}}]}&@@#&/@{{d,-1.3},{s,-1.3}},{Vect[-.6(Subscript[(OverVector[e]), z]),(#1-.4)(Subscript[(OverVector[e]), z])-#2(Subscript[(OverVector[e]), x])],Lgd[{"(1/(Subscript[ϵ, o]))(Subscript[(OverVector[D]), ny])",(#1-.6)(Subscript[(OverVector[e]), z])-#2(Subscript[(OverVector[e]), x]),{2,0}}]}&@@#&/@{{d-s,-1.3}}},{}],
If[showP,
{{Vect[-.4(Subscript[(OverVector[e]), z]),(#1-.4)(Subscript[(OverVector[e]), z])+#2(Subscript[(OverVector[e]), x])],Lgd[{"((Subscript[(OverVector[P]), ny])/(ϵ-(Subscript[ϵ, o])))",(#1-.5)(Subscript[(OverVector[e]), z])+#2(Subscript[(OverVector[e]), x]),{1.5,0}}]}&@@#&/@{{d-s,.5}},
{Vect[.2(Subscript[(OverVector[e]), z]),(#1-.5)(Subscript[(OverVector[e]), z])+#2(Subscript[(OverVector[e]), x])],Lgd[{"(Subscript[(OverVector[E]), pol])",(#1-.4)(Subscript[(OverVector[e]), z])+#2(Subscript[(OverVector[e]), x]),{-2,0}}]}&@@#&/@{{d-s,.4}}},{}]
}]},(* ImageSize->1.3{800,300},ViewPoint->{0,43,1},BoxRatios->{6,6,3}, Boxed->False,ViewAngle->.009,PlotRange->{{-3,3},{-3,3},{-2,5}},ImageMargins->{{-100,1},{0,1}} *)ImageSize->{800.,385.},ViewPoint->{0,23,.79},BoxRatios->{6,6,3}, Boxed->False,ViewAngle->.0154,PlotRange->{{-3,3},{-3,3},{-2,5}} ]/.d->3/.s->1,{{Z,1.3},.1,3.1},{{showD,False,"(OverVector[D])"},{False,True}} ,{{showP,False,"(OverVector[P])"},{False,True}} ,{{showG,False,"Gauss"},{False,True}} ,ContinuousAction->True,SaveDefinitions->True,ControlPlacement->{Top,Right,Right,Top},Paneled->False]

Qual é a densidade de carga (Subscript[σ, ±]) nas armaduras do condensador?

Assumindo uma distribuição uniforme de carga nas armaduras do condensador, podemos desde já determinar que

(SubPlus[σ])=-(SubMinus[σ])=(Q/A)

Como é  o campo dentro do condensador plano ?

Dado que (Sqrt[A])=0.3 m≫d=0.003 m vamos assumir que o campo interno no condensador é aproximadamente invariante para deslocamentos horizontais. Desprezando variações nas fronteiras, o campo deve ser vertical em todos os pontos no interior.

Podemos usar a Lei de Gauss para determinar os campos às diversas alturas z a partir da armadura inferior.

(Subscript[Φ, cyl])== (Subscript[∯, cyl])(OverVector[D])·(OverVector[n])\[DifferentialD]S== (Subscript[Q, c])                ou                  (Subscript[Φ, cyl])== (Subscript[∯, cyl])(OverVector[E])·(OverVector[n])\[DifferentialD]S== ((Subscript[Q, c])/(Subscript[ϵ,  ]))

O vector deslocamento eléctrico (OverVector[D])=ϵ (OverVector[E]) relaciona-se com a carga livre  (Subscript[Q, c]) (carga de condução) dentro do cylindro de Gauss. A vantagem de usar a primeira forma da lei de Gauss é que não existe referência explícita à constante dielétrica do meio (se houvesse contribuições para o fluxo devidas a campos em meios diferentes, que ϵ se usaria na lei de Gauss?).

O produto escalar (OverVector[D])·(OverVector[n]) (ou de (OverVector[E])·(OverVector[n])) em qualquer ponto da superfície lateral do cilindro é zero porque o campo é vertical e (OverVector[n]) horizontal. Só nas bases do cilindro é que (OverVector[E]) e (OverVector[n])  são colineares, mas na base superior não há campo ((OverVector[E])=0) se a colocarmos acima da armadura positiva. Assim o fluxo reduz-se ao da base inferior à altura z.

(Subscript[Φ, cyl])[z]== (OverVector[D])[z]·(OverVector[n]) π (r^2)== (SubPlus[σ])π (r^2)                   ∴                 (OverVector[D])[z]== (SubPlus[σ])(SubPlus[(OverVector[n])])

Neste caso verifica-se que não existe dependência explícita em z, ou seja (OverVector[D]) é constante em todo o condensador. Num dielétrico com permitividade relativa (Subscript[ϵ, r])=(ϵ/(Subscript[ϵ, o])) o campo eléctrico deve ser

(OverVector[E])== (1/((Subscript[ϵ, r])(Subscript[ϵ, o])))(OverVector[D])                     ∴                         (Piecewise[{{(Subscript[(OverVector[E]), ar])== ((SubPlus[σ])/(Subscript[ϵ, o]))(SubPlus[(OverVector[n])])≡ (Q/((Subscript[ϵ, o])A))(SubPlus[(OverVector[n])]), no ar (Subscript[ϵ, r])≈1}, {(Subscript[(OverVector[E]), ny])== ((SubPlus[σ])/((Subscript[ϵ, r])(Subscript[ϵ, o])))(SubPlus[(OverVector[n])])≡(Q/((Subscript[ϵ, r])(Subscript[ϵ, o])A))(SubPlus[(OverVector[n])]), no nylon}}])

Para os valores dados

(Piecewise[{{(Subscript[(OverVector[E]), ar])==4π×9×(10^(9 ))  ((1.5×(10^(-8)) )/(10^(-1)))(SubPlus[(OverVector[n])]),              (Subscript[E, ar]) =16.964×(10^3)  (* (V/m) *)}, {(Subscript[(OverVector[E]), ny])== 4π×9×(10^(9 ))  ((1.5×(10^(-8)) )/(3.4×(10^(-1))))(SubPlus[(OverVector[n])]),               (Subscript[E, ny])=4.989×(10^3)  (* (V/m) *)}}])

Qual é a capacidade do condensador?

A capacidade dum condensador é a razão entre a carga armazenada e a queda de potencial 𝒱=(SubPlus[V])-(SubMinus[V]) entre as armaduras.

C==(Q/𝒱)              (* F*)

Uma forma simples de resolver consiste em notar que (Subscript[E, ar])(d/3)=-(Subscript[ΔV, ar]) e (Subscript[E, ny])(d/3)=-(Subscript[ΔV, ny]) em cada segmento do condensador, pelo que

𝒱== -2(Subscript[ΔV, ar])-(Subscript[ΔV, ny])== -(2(Subscript[E, ar])+(Subscript[E, ny]))(d/3)

Substituindo os valores de (Subscript[E, ar ]) e (Subscript[E, ny]) determinados antes obtém-se a definição de C

C== ((3Q)/(\[LeftBracketingBar]2(Subscript[E, ar])+(Subscript[E, ny])\[RightBracketingBar]d))==((3(Subscript[ϵ, r]))/( (2(Subscript[ϵ, r])+1) ))(((Subscript[ϵ, o])A)/d)

Para uma solução mais completa note que o potencial associado ao campo (Subscript[(OverVector[E]), ar]) é tal que -∇(Subscript[V, ar])=(Subscript[(OverVector[E]), ar]). Para um campo constante na direcção (SubPlus[(OverVector[n])])=-(Subscript[(OverVector[e]), z]) deve-se ter

(Subscript[V, ar])[z]== (Subscript[V, 0])+ (Q/((Subscript[ϵ, o])A))z                        	- note-	para z∈[(2/3)d, d].	;

Dentro do nylon o potencial associado ao campo (Subscript[(OverVector[E]), ny]) é

(Subscript[V, ny])[z]== (Subscript[V, 1])+(Q/((Subscript[ϵ, r])(Subscript[ϵ, o])A))z                         	 note-	para z∈[(1/3)d,(2/3)d].	;

Na região do ar abaixo do nylon o campo volta a ser (Subscript[(OverVector[E]), ar]) e o potencial associado é

(Subscript[V, ar])[z]=(Subscript[V, 2])+(Q/((Subscript[ϵ, o])A))z                           	- note-	para z∈[0,(1/3)d].	;

Como o potencial V[z] deve ser uma função contínua, nas regiões fronteira deve-se ter coincidência para os valores do potencial de cada lado.

(Subscript[V, ar])[d]     == (SubPlus[V])                           ∴                             (SubPlus[V])-(Subscript[V, 0])=(Q/((Subscript[ϵ, o])A))d
(Subscript[V, ar])[(2/3)d]== (Subscript[V, ny])[(2/3)d]             ∴                            (Subscript[V, 0])-(Subscript[V, 1])=(2/3)((1/(Subscript[ϵ, r]))-1) (Q/((Subscript[ϵ, o])A))d
(Subscript[V, ny])[(1/3)d]== (Subscript[V, ar])[(1/3)d]             ∴                            (Subscript[V, 1])-(Subscript[V, 2])=-(1/3)((1/(Subscript[ϵ, r]))-1)(Q/((Subscript[ϵ, o])A))d
(Subscript[V, ar])[0]      == (SubMinus[V])                           ∴                            (Subscript[V, 2])-(SubMinus[V]) =0

As constantes nas expressões do potencial ficam assim determinadas

(Subscript[V, 2])=(SubMinus[V])
(Subscript[V, 1])=(SubMinus[V])-(1/3)((1/(Subscript[ϵ, r]))-1)(Q/((Subscript[ϵ, o])A))d
(Subscript[V, 0])=(SubMinus[V])+(1/3)((1/(Subscript[ϵ, r]))-1)(Q/((Subscript[ϵ, o])A))d
(SubPlus[V])=(SubMinus[V])+(1/3)((1/(Subscript[ϵ, r]))+2) ((  Q  )/(A (Subscript[ϵ, o])))d

A queda de potencial entre armaduras 𝒱=(SubPlus[V])-(SubMinus[V]) é

𝒱== (SubPlus[V])-(SubMinus[V])== (1/3) (2+(1/(Subscript[ϵ, r])))(Q/((Subscript[ϵ, o])A))d                      ∴                             𝒱== (1/3)×(2+(1/3.4))×4π×9×(10^9)×((1.5×(10^(-8)))/(10^(-1)))×3×(10^(-3))==38.92            (* V *)

A capacidade requerida é

C== (Q/𝒱)== ((3(Subscript[ϵ, r])(Subscript[ϵ, o]) A)/((2(Subscript[ϵ, r])+1)d))                                                         ∴                           C==((3 × 3.4×(1/(36π))×(10^(-9))×(10^(-1)))/((2×3.4+1)×3×(10^(-3))))==3.85× (10^(-10))     (* F *)

Qual é a energia armazenada nesse condensador?

A energia armazenada num condensador corresponde ao trabalho realizado contra o seu campo interno para separar as cargas que estão nas armaduras. Assim, se a carga na armadura positiva é Q e a queda de potencial é 𝒱, então a energia total é, tendo em conta que C=(Q/𝒱)

𝒲== (∫_0^Q)𝒱(q)\[DifferentialD]q==(∫_0^Q)(q/C)\[DifferentialD]q== (1/2)((Q^2)/C)== (1/2)C (𝒱^( 2))== (1/2)𝒱 Q

Tendo obtido 𝒱  e C na alínea anterior basta substituir em qualquer das expressões equivalentes

𝒲== (1/2)𝒱 Q==(1/6) (2+(1/(Subscript[ϵ, r])))((Q^2)/((Subscript[ϵ, o])A))d

𝒲==(1/6)(2+(1/3.4))×4π×9×(10^9)×((((1.5×(10^(-8))))^2)/(10^(-1)))×3×(10^(-3))==2.92×(10^(-7)) (* J *)

𝒲==(1/2)((Q^2)/C) == (1/2)((((1.5×(10^(-8))))^2)/(3.85× (10^(-10)) ))==2.92×(10^(-7      )) (* J *)

𝒲==(1/2)C ((𝒱 )^2)== (1/2)×3.85× (10^(-10))×(((38.92))^2)==2.92×(10^(-7))   (* J *)

Como faria para calcular a energia associada ao campo eléctrico do condensador?

Note-se que a energia pode ser considerada como existente no campo eléctrico, com densidade 𝓌[(OverVector[r])]=(1/2)(OverVector[E])[(OverVector[r])]·(OverVector[D])[(OverVector[r])]. Assim, dado que neste caso (OverVector[D])[(OverVector[r])]=(SubPlus[σ])(SubPlus[(OverVector[n])]) é constante dentro de todo o condensador, e zero fora dele,  é fácil calcular a energia total tendo em conta (OverVector[E])=(1/ϵ)(OverVector[D]) e o volume (Subscript[𝔙, ar])=2(Subscript[𝔙, ny])=A (d/3):

𝒲== (∫_(Vol. tot.))𝓌[(OverVector[r])]\[DifferentialD]𝔙==(∫_(Vol. tot.))(1/(2 ϵ))((\[LeftBracketingBar](OverVector[D])\[RightBracketingBar])^2)\[DifferentialD]𝔙==  (((SubPlus[σ])^2)/2)((1/(Subscript[ϵ, o]))(Subscript[𝔙, ar])+(1/ϵ)(Subscript[𝔙, ny]))=(1/2)(2+(1/(Subscript[ϵ, r])))((((Q/A)))^2)(A/(Subscript[ϵ, o])) (d/3)== (1/6) (2+(1/(Subscript[ϵ, r])))((Q^2)/((Subscript[ϵ, o])A))d

Qual é a maior carga que esse condensador pode armazenar sem correr riscos de uma descarga?

O campo de descarga do condensador é o menor dos campos máximos suportados pelos seus dielétricos. Neste caso (Subscript[E, ar max])=3×(10^6) (V/m), o que significa que a carga na armadura positiva se mantém para valores inferiores a este. Como (Subscript[E, ar])=((SubPlus[σ])/(Subscript[ϵ, o]))=(Q/((Subscript[ϵ, o]) A)) obtemos para a máxima carga no condensador

(Subscript[Q, max])== (Subscript[ϵ, o]) A(Subscript[E, ar max])== (1/(4π×9))×(10^(-9))×(10^(-1))×3×(10^6) ==2.65 ×(10^(-6))            (* C *)

Esta carga não é suficiente para danificar o condensador porque o campo dentro do nylon para esta carga é

(Subscript[E, ny])=((Subscript[Q, max])/((Subscript[ϵ, r])(Subscript[ϵ, o])A))=(1/(Subscript[ϵ, r]))(Subscript[E, ar max]) ≪ (Subscript[E, ny max])

Assim a descarga não passa através do nylon. De facto seria necessária uma carga muito maior para causar a rotura no nylon

(Subscript[Q, rot])=(Subscript[ϵ, r])(Subscript[ϵ, o])A (Subscript[E, ny max])=3.4×(1/(4π×9))×(10^(-9))×(10^(-1))×14×(10^6)==42×(10^(-6))       (* C *)

Estando o condensador em circuito aberto, o que acontece à diferença de potencial entre as armaduras quando a placa de nylon é retirada?

Em circuito aberto as armaduras estão isoladas, e portanto a sua carga mantém-se invariante. Assim, quando a placa de nylon é retirada, a queda de potencial entre as armaduras passa a ser a de um condensador com capacidade (Subscript[C, ar])=(((Subscript[ϵ, o])A)/d)

(Subscript[𝒱, ar])==(Q/(Subscript[C, ar]))==(Q/((Subscript[ϵ, o]) A))d==50.89  (* V *)

Este valor é maior que o anterior  𝒱==(1/3) (2+(1/(Subscript[ϵ, r])))(Q/((Subscript[ϵ, o])A))d== 38.92  V. A diferença de potencial entre as armaduras aumenta.

Qual é o trabalho que é preciso efectuar para retirar essa placa de nylon?

Como vimos que a diferença de potencial no condensador aumenta quando se retira o nylon em circuito aberto, isso significa que a energia armazenada também aumenta, ou seja agora

(Subscript[𝒲, ar])== (1/2)Q (Subscript[𝒱, ar])== (1/2)×1.5×(10^(-8))×50.89  ==3.81×(10^(-7))   (* J *)

A diferença de energia armazenada só pode ser justificada como o trabalho realizado sobre o condensador para retirar o dieléctrico. Assim

Δ𝒲== (Subscript[𝒲, ar])-𝒲== 3.817×(10^(-7)) -2.918×(10^(-7)) (* J *)==8.98×(10^(-8))  (* J *)

Apêndice: Solução alternativa

A capacidade do condensador com o nylon retirado x metros na direcção (Subscript[(OverVector[e]), x]) pode ser calculada como a de dois condensadores em paralelo, um com nylon e área (Subscript[A, 1])[x]=(A-x ℓ) e outro só com ar e área (Subscript[A, 2])[x]=x ℓ, onde ℓ é a largura da armadura (dimensão na direcção (Subscript[(OverVector[e]), y])).  A capacidade dos dois é a soma das capacidades de cada um, e assim

C[x]== (Subscript[C, 1])[x]+(Subscript[C, 2 ])[x]== ((3(Subscript[ϵ, r])(Subscript[ϵ, o]) (Subscript[A, 1])[x])/((2(Subscript[ϵ, r])+1)d))+(((Subscript[ϵ, o]) (Subscript[A, 2])[x]     )/d) ==(((1-(Subscript[ϵ, r]))(Subscript[ϵ, o])ℓ )/(d (1+2 (Subscript[ϵ, r]))))x+((3 A (Subscript[ϵ, o]) (Subscript[ϵ, r]))/(d (1+2 (Subscript[ϵ, r])))) ==α x +β                                                          

 α== (((1-(Subscript[ϵ, r]))(Subscript[ϵ, o])ℓ )/(d (1+2 (Subscript[ϵ, r]))))                ({{      , ;}})                                   β== ((3 A (Subscript[ϵ, o]) (Subscript[ϵ, r]))/(d (1+2 (Subscript[ϵ, r]))))

(Subscript[A, 1])[x]=A-x× ℓ                               ;                                   (Subscript[A, 2])[x]=x× ℓ                                              ;                                 A=ℓ×c

Manipulate[SH[{ If[𝓍<1,nycond[𝓍] /.{"A"->If[𝓍>0, "(Subscript[A, 1])(x)","A"],"(SubPlus[σ])"->If[𝓍>0,"(Subscript[σ, 1])(x)_(+)","(SubPlus[σ])"],"(SubMinus[σ])"->If[𝓍>0,"(Subscript[σ, 1])(x)_(-)","(SubMinus[σ])"],"(Subscript[(OverVector[E]), ar])"->"(Subscript[(OverVector[E]), 1])"} ,{}] , If[𝓍>0,If[𝓍<1,{aircond[1-𝓍],G3[{TH[3],Blue,LI[{-2(1-𝓍)(Subscript[(OverVector[e]), x])+d(Subscript[(OverVector[e]), z]),-2(1-𝓍)(Subscript[(OverVector[e]), x])+(d+.4)(Subscript[(OverVector[e]), z]),2𝓍(Subscript[(OverVector[e]), x])+(d+.4)(Subscript[(OverVector[e]), z]),2𝓍(Subscript[(OverVector[e]), x])+d(Subscript[(OverVector[e]), z])}],LI[{-2(1-𝓍)(Subscript[(OverVector[e]), x]),-2(1-𝓍)(Subscript[(OverVector[e]), x])-.4(Subscript[(OverVector[e]), z]),2𝓍(Subscript[(OverVector[e]), x])-.4(Subscript[(OverVector[e]), z]),2𝓍(Subscript[(OverVector[e]), x])}]}]},aircond[0]/."(Subscript[σ, 2])(x)_(+)    (Subscript[A, 2])(x)"->"(SubPlus[σ])    A"/." (Subscript[σ, 2])(x)_(-)    (Subscript[A, 2])(x)"-> " (SubMinus[σ])    A"],{}]}/.d->3/.s->1,ImageSize->1.3{800,300},ViewPoint->{.1,13,.4},BoxRatios->{6,6,3}, Boxed->False,ViewAngle->.03,PlotRange->1.04{{-3,3},{-3,3},{-2,5}},ImageMargins->{{-140,1},{0,1}}],{{𝓍,0.1},0,1.0},Paneled->False]

Como as armaduras ligadas dos condensadores partilham a mesma equipotencial, então o campo (Subscript[(OverVector[E]), 2])[x] deve ser tal que a queda de potencial (Subscript[𝒱, 2])[x]=(Subscript[𝒱, 1])[x], ou seja (Subscript[E, 2])[x]d= (1/3) (2+(1/(Subscript[ϵ, r])))(((Subscript[σ, 1])[x])/(Subscript[ϵ, o]))d.  Daqui se conclui que (Subscript[E, 2])[x]=(((Subscript[σ, 2])[x])/(Subscript[ϵ, o]))=(1/3) (2+(1/(Subscript[ϵ, r])))(((Subscript[σ, 1])[x])/(Subscript[ϵ, o])), onde (Subscript[σ, 1])[x] representa a densidade de carga nas armaduras do condensador com nylon, e (Subscript[σ, 2 ])[x] a densidade de carga no condensador sem nylon. Assim tem-se que

(Subscript[σ, 2 ])[x]==(1/3) (2+(1/(Subscript[ϵ, r])))(Subscript[σ, 1])[x]

Por outro lado, em circuito aberto a carga nas armaduras tem que permanecer invariante, ou seja Q=(Subscript[σ, 1])[x](A-x ℓ)+(Subscript[σ, 2])[x]x ℓ donde se conclui que

(Subscript[σ, 1])[x]=((3 Q )/(3 A-x ℓ (1-(1/(Subscript[ϵ, r])))))=(1/(1-((x ℓ)/(3A))(1-(1/(Subscript[ϵ, r])))))(SubPlus[σ])

Como (Subscript[(OverVector[E]), 1])=-(((Subscript[σ, 1])(x))/(Subscript[ϵ, o]))(Subscript[(OverVector[e]), z]) e (Subscript[(OverVector[E]), 2])=-(((Subscript[σ, 2])(x))/(Subscript[ϵ, o]))(Subscript[(OverVector[e]), z]) obtém-se

(Subscript[(OverVector[E]), 1])[x_]:=-(1/(1-((x ℓ)/(3A))(1-(1/(Subscript[ϵ, r])))))(Q/((Subscript[ϵ, o]) A))(Subscript[(OverVector[e]), z])                                              /.ℓ->(Sqrt[A])/.dims/.SIUnits 

(Subscript[(OverVector[E]), 2])[x_]:=-(1/3) (2+(1/(Subscript[ϵ, r])))(1/(1-((x ℓ)/(3A))(1-(1/(Subscript[ϵ, r])))))(Q/((Subscript[ϵ, o])A))(Subscript[(OverVector[e]), z])              /.ℓ->(Sqrt[A])/.dims/.SIUnits

Os gráficos seguintes mostram como variam as densidades de carga (Subscript[σ, 1])[x] e (Subscript[σ, 2])[x], e desde logo se vê que, à medida que x aumenta, aumenta também a densidade de carga (Subscript[σ, 1])[x]. Isto significa que, embora a carga total na área A-x ℓque cobre o nylon diminua progressivamente, há cargas que são puxadas da parte da armadura que fica progressivamente a descoberto para aumentar a densidade de carga (Subscript[σ, 1])[x]. Assim  o campo e o potencial em ambas armaduras aumenta progressivamente até ao valor final. O trabalho realizado ao retirar o nylon é usado neste processo de elevar as cargas para um patamar mais alto do potencial. Como se pode ver, com o nylon parcialmente retirado as cargas de polarização (Subscript[(Subscript[σ, pol]), ±]) têm oportunidade de exercer forças atractivas com componentes horizontais sobre as cargas nas armaduras livres, e como tal deslocam algumas delas no sentido de aumentar a densidade de carga (Subscript[σ, 1])[x] , o que é feito contra uma "pressão electroestática" no sentido contrário, i.e. no sentido de diluir ao máximo as cargas pelo espaço disponível. Por outro lado é contra esta força electrostática que o trabalho mecânico deve ser realizado.

{Plot[{ (SubPlus[σ]) ,((SubPlus[σ])/(1-((x ℓ)/(3A))(1-(1/(Subscript[ϵ, r]))))),(1/3) (2+(1/(Subscript[ϵ, r])))((SubPlus[σ])/(1-((x ℓ)/(3A))(1-(1/(Subscript[ϵ, r])))))}/.(SubPlus[σ])->(Q/A)/.ℓ->(Sqrt[A])/.dims/.SIUnits//Release,{x,0,(Sqrt[.1])},PlotRange->{.8*^-7,2.2*^-7},Frame->True,FrameTicks->{{{0,"0"},{(Sqrt[.1]),"𝒸"}},{{0,"0"},{1*^-7,"(2/3)(SubPlus[σ])"},{1.5*^-7,"(SubPlus[σ])"},{2*^-7,"(4/3)(SubPlus[σ])"}},None,None},FrameLabel->{"x->","Densidades de carga"},PlotStyle->{{DX[.01],rd},{TH[1],gr},{TH[1],bl}},GridLines->{{#[[1]],Opacity[.3]}&/@{{0,"0"},{(Sqrt[.1]),"𝒸"}},{#[[1]],Opacity[.3]}&/@{{0,"0"},{1*^-7,"(2/3)(SubPlus[σ])"},{1.5*^-7,"(SubPlus[σ])"},{2*^-7,"(4/3)(SubPlus[σ])"}}}],Plot[{A (SubPlus[σ]) ,(A-x ℓ)((SubPlus[σ])/(1-((x ℓ)/(3A))(1-(1/(Subscript[ϵ, r]))))),x ℓ(1/3) (2+(1/(Subscript[ϵ, r])))((SubPlus[σ])/(1-((x ℓ)/(3A))(1-(1/(Subscript[ϵ, r])))))}/.(SubPlus[σ])->(Q/A)/.ℓ->(Sqrt[A])/.dims/.SIUnits//Release,{x,0,(Sqrt[.1])},PlotRange->{0,1.6*^-8},Frame->True,FrameTicks->{{{0,"0"},{(Sqrt[.1]),"𝒸"}},{{0,"0"},{5*^-9,"(1/3)Q"},{1*^-8,"(2/3)Q"},{1.5*^-8,"Q"}},None,None},FrameLabel->{"x->","Cargas"},PlotStyle->{{DX[.01],rd},{TH[1],gr},{TH[1],bl}},GridLines->{{#[[1]],Opacity[.3]}&/@{{0,"0"},{(Sqrt[.1]),"𝒸"}},{#[[1]],Opacity[.3]}&/@{{0,"0"},{5*^-9,"(1/3)Q"},{1*^-8,"(2/3)Q"},{1.5*^-8,"Q"}}}]}//GA

Assim, ao retirar o dieléctrico de nylon estamos a fazer variar contínuamente a capacidade do condensador, que varia linearmente com x na forma C[x]=α x+β, e como a sua energia armazenada é  𝒲=(1/2)((Q^2)/C) obtemos para uma pequena variação de C que

\[DifferentialD]𝒲== - (1/2)((Q^2)/(C^2))\[DifferentialD]C

A expressão para a variação de energia armazenada passa assim a escrever-se em função de x como

\[DifferentialD]𝒲[x]==- (1/2)((Q^2)/((( α x  +β))^2))α \[DifferentialD]x==(OverVector[F])·\[DifferentialD](OverVector[r])

Desta expressão deduzimos que a força sobre o dieléctrico de nylon que realiza este trabalho é

(OverVector[F])[x]=-(1/2)((α (Q^2))/((( α x  +β))^2))(Subscript[(OverVector[e]), x])==(( (1-(1/(Subscript[ϵ, r]))) (2+(1/(Subscript[ϵ, r]))) (Q^2)ℓ d )/(2 (Subscript[ϵ, o]) (((3 A -x ℓ (1-(1/(Subscript[ϵ, r])))))^2))) (Subscript[(OverVector[e]), x])

-(1/2)((α (Q^2))/((( α x  +β))^2))(Subscript[(OverVector[e]), x])/.α-> (((1-(Subscript[ϵ, r]))(Subscript[ϵ, o])ℓ )/(d (1+2 (Subscript[ϵ, r]))))/. β-> ((3 A (Subscript[ϵ, o]) (Subscript[ϵ, r]))/(d (1+2 (Subscript[ϵ, r]))))/.𝒸->(A/ℓ)//FSp//Sub[(x ℓ+(3 A-x ℓ) (Subscript[ϵ, r])),Coll[x ℓ]]

Se assumirmos que x varia entre 0 e o comprimento c, o trabalho total para extrair o nylon será

Δ𝒲==∫\[DifferentialD]𝒲 [x]== -(1/2)(Q^2)(∫_0^c)(1/(((α x +β))^2))α \[DifferentialD]x== (1/2)(Subscript[(Q^2) [(1/(α x +β))], 0]^c)==(1/2)(Q^2) ((1/(α c+β))-(1/β))

Mas α 𝒸= (((1-(Subscript[ϵ, r])) (Subscript[ϵ, o]) A)/(d (1+2 (Subscript[ϵ, r])))) e β= ((3 A (Subscript[ϵ, o]) (Subscript[ϵ, r]))/(d (1+2 (Subscript[ϵ, r]))))pelo que

Δ𝒲==(( ((Subscript[ϵ, r])-1))/(6  (Subscript[ϵ, r])  ))((Q^2)/((Subscript[ϵ, o])A))d == (((3.4-1))/(6×3.4))×4π×9×(10^9)×((((1.5×(10^(-8))))^2)/(10^(-1)))×3×(10^(-3))==8.98×(10^(-8))       (* J *)

Problema 4.3

Considere a região de "gate" de um transistor num microprocessador recente. É constituída por duas camadas metálicas de dimensões de 0.1 μm por 0.5 μm, separadas por uma camada de óxido de silício com uma espessura de 1.5 nm e uma constante dielétrica (Subscript[ϵ, r])=3.5 do semi-condutor. A diferença de potencial aplicada é da ordem de 1.5 V. Para este problema considere que se trata de um condensador de placas paralelas de área  0.1 μm por 0.5 μm.

Qual é a capacidade do condensador?

Quantos electrões se encontram na armadura quando é aplicada a diferença de potencial de 1.5 V?

G3[{{Gray,Opacity[.5],Cuboid[(OverVector[O]),3(Subscript[(OverVector[e]), x])+(Subscript[(OverVector[e]), y])+.999(Subscript[(OverVector[e]), z])],Opacity[.8],Cuboid[1.2(Subscript[(OverVector[e]), x])+.5(Subscript[(OverVector[e]), z]),1.8(Subscript[(OverVector[e]), x])+(Subscript[(OverVector[e]), y])+(Subscript[(OverVector[e]), z])]},{Orange,Opacity[.5],Cuboid[.6(Subscript[(OverVector[e]), x])+.0001(Subscript[(OverVector[e]), y])+.2(Subscript[(OverVector[e]), z]),2.4(Subscript[(OverVector[e]), x])+(Subscript[(OverVector[e]), y])+.999(Subscript[(OverVector[e]), z])],Opacity[1],TS[conn,.6(Subscript[(OverVector[e]), x])],Gray,conn,TS[conn,1.15(Subscript[(OverVector[e]), x])]},
{Vect[.5(Subscript[(OverVector[e]), y]),-(Subscript[(OverVector[e]), y])+(Subscript[(OverVector[e]), z])+1.5(Subscript[(OverVector[e]), x])],Lgd[{"Emissor",-1.2(Subscript[(OverVector[e]), y])+(Subscript[(OverVector[e]), z])+1.5(Subscript[(OverVector[e]), x]),{0,-1}}]},{Vect[-.5(Subscript[(OverVector[e]), y]),-.5(Subscript[(OverVector[e]), y])+(Subscript[(OverVector[e]), z])+2.65(Subscript[(OverVector[e]), x])],Lgd[{"Collector",-1.2(Subscript[(OverVector[e]), y])+(Subscript[(OverVector[e]), z])+2.65(Subscript[(OverVector[e]), x]),{0,-1}}]},{LI[{-.5(Subscript[(OverVector[e]), y])+(Subscript[(OverVector[e]), z])+2.1(Subscript[(OverVector[e]), x]),-(Subscript[(OverVector[e]), y])+(Subscript[(OverVector[e]), z])+2.1(Subscript[(OverVector[e]), x]),-(Subscript[(OverVector[e]), y])+.5(Subscript[(OverVector[e]), z])+2.1(Subscript[(OverVector[e]), x])}],Lgd[{"Gate",-1.2(Subscript[(OverVector[e]), y])+(Subscript[(OverVector[e]), z])+2.1(Subscript[(OverVector[e]), x]),{0,-1}},{"V",-(Subscript[(OverVector[e]), y])+.5(Subscript[(OverVector[e]), z])+2.1(Subscript[(OverVector[e]), x]),{0,2}}]},Lgd[{"(Subscript[SiO, 2])",1.1(Subscript[(OverVector[e]), x])-.1(Subscript[(OverVector[e]), y])+.4(Subscript[(OverVector[e]), z])}]},Boxed->False]

Qual é a capacidade do condensador?

A área das armaduras é

A== (10^(-1))×(10^(-6))×5×(10^(-1))×(10^(-6)) == 5×(10^(-14))             (* (m^2) *)

A separação entre armaduras é

d== 1.5×(10^(-9))   (* m *)

A capacidade de um condensador plano é

C== ((ϵ A)/d)≡(((Subscript[ϵ, r])(Subscript[ϵ, o]) A)/d)                 ∴                                     C== 3.5×(1/(4π ×9))×(((10^(-9))×5×(10^(-14)))/(1.5×(10^(-9))))== 1.031×(10^(-15))    (* F *)

Quantos electrões se encontram na armadura quando é aplicada a diferença de potencial de 1.5 V?

Para a capacidade encontrada e a diferença de potencial aplicada de 𝒱=1.5  V deve existir uma carga total na armadura negativa de

-Q==- 𝒱 C==-1.5 ×1.031×(10^(-15))==-1.5465×(10^(-15))       (* C *)

Dado que um electrão possui uma carga elementar de (Subscript[q, e])=-1.602176462 ×(10^(-19)) C, deve-se obter

(Subscript[N, e])==((-Q)/(Subscript[q, e]))== ((-1.5465×(10^(-15)) )/(-1.602176462 ×(10^(-19))))≈9652  electrões